1、117.1 勾股定理(第 3 课时)学习目标1.正确掌握实数与数轴上的点成一一对应关系 .(重点)2.灵活运用勾股定理解决问题,树立数形结合思想 .(难点)3.养成良好的思维意识,发展数学理念 .学习过程一、合作探究我们曾经学过一个结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .现在,你能用勾股定理来证明这一结论吗?已知:在 Rt ABC 和 Rt ABC中, C= C=90,AB=AB,AC=AC.求证: ABC ABC.(学生小组交流合作,共同完成答案)二、自主学习1.阅读教材 27 页,在数轴上利用勾股定理作长度为无理数的线段 .勾股定理的形式为“ a2+b2=c2”,其中只要知道
2、其中任意两个量,就可以求出第三个量 .第三个量需要开平方,开平方时可能出现“开不尽”的情况,无 理数也就出现了 .利用这一点,构造成两个长度为有理数的线段作为直角三角形的其中两边, 画出图形,第三边就是所求作的线段 .【例】用圆规与尺子在数轴上作出表示 的点,并补充完整作图方法 .13步骤如下:1.在数轴上找到点 A,使 OA= ; 2.作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取一点 B,使 AB= ; 3.以原点 O 为圆心,以 OB 为半径作弧,弧与数轴交于原点右侧的点 C,则点 C 即为表示 的点 .13三、跟踪练习1.如图,点 C 所表示的数是( )A.- B. C. -1 D.- +15
3、 5 5 52.在数轴上作出 对应的点 .83.在物体表面从一个点到另一个点,一般是在一个曲面内,怎样才能使在这个曲面内走的路线最短,这就要将曲面展开成平面 .在平面内,两点之间线段最短,然后利用勾股定理构造直角三角形,求出这个最短路线长 .2【例】如图,圆柱的高为 8 cm,底面直径为 4 cm,一只蚂蚁想吃下底面与 A 相对的 B 处的食物,需绕圆柱表面爬行的最短路程大约为 ( =3). 四、变式演练1.一个长宽高分别为 30 cm,24 cm,18 cm 的长方体盒子盒内可放的小木棍最长为 cm. 2.如图,在下列正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,任意连接这些小正方形的顶点可以得
4、到一些线段,试在图中画出长度为 的线段 .5, 10, 8五、达标检测1.直角三角形两直角边边长分别为 6 cm 和 8 cm,则连接这两条直角边中点的线段长为 cm. 2.若将直角三角形的两直角边同时扩大 2 倍,则斜边扩大为原来的 倍 . 3.要登上某建筑物,靠墙有一架梯子,底端 离建筑物 5 m,顶端离地面 12 m,则梯子的长度为 m. 4.在数轴上画出表示 - 的点 .5, 2+ 55.如图,已知 ABC 中, ABC=90,AB=BC,三角形的三个顶点在相互平行的三条直线 a1,a2,a3上,且 a1,a2之间的距离为 2,a2,a3之间的距离为 3,求 BC 的长 .6.如图是“
5、赵爽弦图”,其中 ABH, BCG, CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形,四边形 ABCD 和 EFGH都是正方形,根据这个图形的面积关系,可以证明勾股定理 .设 AD=c,AE=a,DE=b,取 c=10,a-b=2,(1)正方形 EFGH 的面积为 ,四个直角三角形 的面积和为 ; (2)求( a+b)2的值 .7.如图,每个小方格的边长都是 1,3(1)求 ABC 的周长;(2)画出 BC 边上的高,并求 ABC 的面积;(3)画出 AB 边上的高,并求出高 .参考答案一、合作探究证明:在 Rt ABC 和 Rt ABC中, C= C=90,根据 勾股定理,得 BC= ,AB2-
6、AC2BC= .AB2-AC2又 AB=AB,AC=AC,所以 BC=BC.所以 ABC ABC(SSS).二、自主学习略三、跟踪练习1.D 解析:图中直角三角形 OAB 的直角边分别为 1,2,所以根据勾股定理可求出 AB= ,点 A 表示的数是 1,所5以点 C 所表示的数为 - +1.52.略3.10 cm 解析:把圆柱展开得到一个平面,平面内两点之间线段最短,展开后如图所示, A,B,C 构成直角三角形,其中 BC=432=6(cm),AC=8cm,所以 AB= =10cm.AC2+BC2四、变式演练1.30 22.略五、达标检测1.5 2.2 3.13 4.略5.解:作 AD a3于
7、 D,作 CE a3于 E,4 ABC=90, ABD+ CBE=90.又 DAB+ ABD=90, BAD= CBE.在 ABD 和 BEC 中, ADB= BEC, BAD= EBC,AB=BC, ABD BCE(AAS),BE=AD= 3,在 Rt BCE 中 ,根据勾股定理,得BC= .CE2+BE2= 32+52= 346.解:(1) HE=a-b= 2,S 正方形 EFGH=HE2=4,AD=c= 10,S 正方形 ABCD=AD2=100, 四个直角三角形的面积和 =S 正方形 ABCD-S 正方形 EFGH=100-4=96,故答案为:4 96;(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为 96, 4 ab=96,解得 2ab=96,12a 2+b2=c2=100, (a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196.7.解:(1) AB= =4 ,42+42 2AC= =2 ,42+22 5BC=2,故 ABC 的周长为 4 +2 +2;2 5(2)如图所示, AD 是 BC 边上的高,S ABC= 24=4;12(3)如图所示, CE 是 AB 边上的高,CE=424 .2= 256
