1、1课时跟踪检测 (四) 圆的极坐标方程一、选择题1极坐标方程 sin cos 表示的曲线是( )A直线 B圆C椭圆 D抛物线解析：选 B 极坐标方程 sin cos 即 2 (sin cos )，化为直角坐标方程为 x2 y2 x y，配方得 2 2 ，表示的曲线是以 为圆心，(x12) (y 12) 12 (12， 12)为半径的圆故选 B.222如图，极坐标方程 2sin 的图形是( )( 4)解析：选 C 圆 2sin 是由圆 2sin 绕极点按顺时针方程旋转 而( 4) 4得，圆心的极坐标为 ，故选 C.(1， 4)3在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A. B.(1，
2、2) (1， 2)C(1,0) D(1，)解析：选 B 由 2sin 得 22 sin ，化成直角坐标方程为x2 y22 y，即 x2( y1) 21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 .故(1， 2)选 B.4在极坐标系中，点 到圆 2cos 的圆心的距离为( )(2， 3)A2 B. 4 29C. D.1 29 3解析：选 D 极坐标系中的点 化为平面直角坐标系中的点为(1， )，极坐标系(2， 3) 3中的圆 2cos 化为平面直角坐标系中的圆为 x2 y22 x，即( x1) 2 y21，其圆2心为(1,0)所求两点间的距离为 .故选 D. 1 1 2 3 0 2 3二、填空题5
3、把圆的普通方程 x2( y2) 24 化为极坐标方程为_解析：圆的方程 x2( y2) 24 化为一般方程为 x2 y24 y0，将 x cos ， y sin 代入，得 2cos2 2sin2 4 sin 0，即 4sin .答案： 4sin 6曲线 C 的极坐标方程为 3sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为_解析：由 3sin ，得 23 sin ，故 x2 y23 y，即所求方程为 x2 y23 y0.答案： x2 y23 y07在极坐标系中，若过点 A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于 A， B 两点，则| AB|_.解析：由题意知，直线方程为 x3，曲线方程为( x2
4、) 2 y24，将 x3 代入圆的方程，得 y ，则| AB|2 .3 3答案：2 3三、解答题8把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化(1)x2 y22 x0；(2) cos 2sin ；(3) 2cos 2 .解：(1) x2 y22 x0， 22 cos 0， 2cos .(2) cos 2sin ， 2 cos 2 sin ， x2 y2 x2 y，即 x2 y2 x2 y0.(3) 2cos 2 ， 4 2cos2 ( cos )2( x2 y2)2 x2，即 x2 y2 x 或 x2 y2 x.9过极点 O 作圆 C： 8cos 的弦 ON，求弦 ON 的中点 M 的轨迹方程解：法
5、一(代入法)：设点 M( ， )， N( 1， 1)因为点 N 在圆 8cos 上，所以 18cos 1.因为点 M 是 ON 的中点，所以 12 ， 1 ，所以 2 8cos ，所以 4cos .3所以点 M 的轨迹方程是 4cos .(点 (0， 2)除 外 )法二(定义法)：如图，圆 C 的圆心 C(4,0)，半径 r| OC|4，连接 CM.因为 M 为弦 ON 的中点，所以 CM ON.故 M 在以 OC 为直径的圆上，所以动点 M 的轨迹方程是 4cos .(点 (0， 2)除 外 )10若圆 C 的方程是 2 asin ，求：(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)关于直线 对
6、称的圆的极坐标方程34解：法一：设所求圆上任意一点 M 的极坐标为( ， )(1)点 M( ， )关于极轴对称的点为( ， )，代入圆 C 的方程 2 asin ，得 2 asin( )，即 2 asin 为所求(2)点 M( ， )关于直线 对称的点为 ，代入圆 C 的方程34 ( ， 32 ) 2 asin ，得 2 asin ，(32 )即 2 acos 为所求法二：由圆的极坐标方程 2 asin 得 22 a sin ，利用公式 x cos ， y sin ， ，x2 y2化为直角坐标方程为 x2 y22 ay，即 x2( y a)2 a2，故圆心为 C(0， a)，半径为| a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0， a)，圆的方程为 x2( y a)2 a2，即 x2 y22 ay，所以 22 a sin ，故 2 asin 为所求(2)由 得 tan 1，34故直线 的直角坐标方程为 y x.34圆 x2( y a)2 a2关于直线 y x 对称的圆的方程为( y)2( x a)2 a2，即(x a)2 y2 a2，于是 x2 y22 ax，所以 22 a cos .故此圆的极坐标方程为 2 acos .4
