1、1课时跟踪检测（十六） 导数的运算法则层级一 学业水平达标1已知函数 f(x) ax2 c，且 f(1)2，则 a 的值为( )A1 B. 2C1 D0解析：选 A f(x) ax2 c， f( x)2 ax，又 f(1)2 a，2 a2， a1.2函数 y( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2 C3 D4解析：选 D y( x1) 2( x1)( x1) 2(x1)2( x1)( x1)( x1) 23 x22 x1， y| x1 4.3若 y x24x，则 y( )A x24x2 x B(2 x x2)4xC(2 x x2ln 4)4x D( x x2)4x解析：选
2、C y( x2)4 x x2(4x)2 x4x x24xln 4(2 x x2ln 4)4x，故选 C.4曲线 y x33 x21 在点(1，1)处的切线方程为( )A y3 x4 B y3 x2C y4 x3 D y4 x5解析：选 B 因为点(1，1)在曲线 y x33 x21 上，所以该点处切线的斜率为 k y| x1 (3 x26 x)|x1 363，切线方程为 y13( x1)，即 y3 x2.5设曲线 f(x) axln x 在点(1， f(1)处的切线与 y2 x 平行，则 a( )A0 B1 C2 D3解析：选 D f( x) a ，由题意得 f(1)2，1x即 a12，所以
3、a3.6(2017全国卷)曲线 y x2 在点(1,2)处的切线方程为_1x解析：设 y f(x)，则 f( x)2 x ，1x22所以 f(1)211.所以在(1,2)处的切线方程为 y21( x1)，即 y x1.答案： y x17已知函数 f(x) f cos xsin x，则 f 的值为_( 4) ( 4)解析： f( x) f sin xcos x，( 4) f f ，得 f 1.( 4) ( 4) 22 22 ( 4) 2 f(x)( 1)cos xsin x f 1.2 ( 4)答案：18若曲线 f(x) xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2 y10 互相垂直，则实 2
4、数 a_.解析：因为 f( x)sin x xcos x，所以 f sin cos 1.( 2) 2 2 2又直线 ax2 y10 的斜率为 ，a2所以根据题意得 1 1，解得 a2.(a2)答案：29求下列函数的导数(1)y ln x； (2) y( x21)( x1)；x(3)y ； (4) y .x2sin x x 3x2 3解：(1) y( ln x)( )(ln x) .x x12x 1x(2)y( x21)( x1)( x3 x2 x1)( x3)( x2)( x)(1)3 x22 x1.(3)y . x2 sin x x2 sin x sin2x 2xsin x x2cos xs
5、in2x(4)y .1 x2 3 x 3 2x x2 3 2 x2 6x 3 x2 3 2310已知函数 f(x) ， g(x) aln x， aR.若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)相交且x在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程解： f( x) ， g( x) (x0)，12x ax由已知得Error!解得 a ， xe 2，e2所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)切线的斜率为 k f(e 2) ，12e所以切线的方程为 ye (xe 2)，12e即 x2e ye 20.层级二 应试能力达标1函数 ysin x(cos x1)的导数是( )Acos 2 xcos x Bco
6、s 2 xsin xCcos 2 xcos x Dcos 2xcos x解析：选 C y(sin x)(cos x1)sin x(cos x1)cos x(cos x1)sin x(sin x)cos 2 xcos x，故选 C.2若函数 f(x) ax4 bx2 c 满足 f(1)2，则 f(1)等于( )A1 B2 C2 D0解析：选 B f( x)4 ax32 bx 为奇函数， f(1) f(1)2.3曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e Be C3e D1解析：选 C 函数的导数为 f( x)2 xex x2exe x(x22 x)当 x1 时， f(1)3e，
7、即曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率 k f(1)3e，故选 C.4若 f(x) x22 x4ln x，则 f( x)0 的解集为( )A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选 C f(x) x22 x4ln x，4 f( x)2 x2 0，4x整理得 0，解得1 x0 或 x2， x 1 x 2x又因为 f(x)的定义域为(0，)，所以 x2.5已知曲线 y12 与 y2 x3 x22 x 在 x x0处切线的斜率的乘积为 3，则1xx0_.解析：由题知 y 1 ， y 23 x22 x2，1x2所以两曲线在 x x0处切线的斜率分别为 ，3 x 2 x02
8、，1x20 20所以 3，所以 x01.3x20 2x0 2x20答案：16已知函数 f(x)e x mx1 的图象为曲线 C，若曲线 C 存在与直线 y x 垂直的切12线，则实数 m 的取值范围是_解析： f(x)e x mx1， f( x)e x m，曲线 C 存在与直线 y x 垂直的切线，12 f( x)e x m2 成立， m2e x2，故实数 m 的取值范围是(2，)答案：(2，)7偶函数 f(x) ax4 bx3 cx2 dx e 的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为 y x2，求 f(x)的解析式解： f(x)的图象过点 P(0,1)， e1.又 f(x)为偶
9、函数， f( x) f(x)故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e. b0， d0. f(x) ax4 cx21.函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 y x2，切点为(1，1) a c11. f(1)4 a2 c，4 a2 c1. a ， c .52 92函数 f(x)的解析式为 f(x) x4 x21.52 9258设抛物线 C： y x2 x4，过原点 O 作 C 的切线 y kx，使切点 P 在第一象92限(1)求 k 的值；(2)过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标解：(1)设点 P 的坐标为( x1， y1)，则 y1 kx1， y1 x x14， 2192由，得 x x140.点 P 为切点，21 (k92) 2160，得 k 或 k .(k92) 172 12当 k 时， x12， y117.172当 k 时， x12， y11.12点 P 在第一象限，所求的斜率 k .12(2)过点 P 作切线的垂线，其方程为 y2 x5. 将代入抛物线方程，得 x2 x90.132设 Q 点的坐标为( x2， y2)，即 2x29， x2 ， y24， Q 点的坐标为 .92 (92， 4)5
