1、1课时跟踪检测（十二） 抛物线的简单几何性质层级一 学业水平达标1以 x 轴为对称轴，通径长为 8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A y28 x B y28 xC y28 x 或 y28 x D x28 y 或 x28 y解析：选 C 依题意设抛物线方程为 y22 px(p0)，则 2p8，所以抛物线方程为 y28 x 或 y28 x.2若直线 y2 x 与抛物线 x22 py(p0)相交于 A， B 两点，则| AB|等于( )p2A5 p B10 pC11 p D12 p解析：选 B 将直线方程代入抛物线方程，可得 x24 px p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则
2、 x1 x24 p， y1 y29 p.直线过抛物线的焦点，| AB| y1 y2 p10 p.3设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24 x 的焦点， A 为抛物线上一点，若 OA AF 4，则点 A 的坐标为( )A(2，2 ) B(1，2)2C(1,2) D(2,2 )2解析：选 B 设 A(x， y)，则 y24 x， 又 ( x， y)， (1 x， y)，OA AF 所以 x x2 y24. OA AF 由可解得 x1， y2.4过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28 x 交于 A， B 两点，则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析：选
3、B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由题意知 AB 的方程为 y2( x1)，即 y2 x2.由Error! 得 x24 x10，2 x1 x24， x1x21.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 . 1 4 16 4 512 155设 F 为抛物线 C： y23 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为( )A. B.334 938C. D.6332 94解析：选 D 易知抛物线中 p ，焦点 F ，直线 AB 的斜率 k ，32 (34， 0) 33故直线 AB 的方程为 y ，代入抛物线方程
4、y23 x，整理得 x2 x 0.33(x 34) 212 916设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 .212由抛物线的定义可得弦长| AB| x1 x2 p 12，212 32结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d sin 30 ，p2 38所以 OAB 的面积 S |AB|d .12 946直线 y x1 被抛物线 y24 x 截得的线段的中点坐标是_解析：将 y x1 代入 y24 x，整理，得 x26 x10.由根与系数的关系，得 x1 x26， 3，x1 x22 2.y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7已知
5、A(2,0)， B 为抛物线 y2 x 上的一点，则| AB|的最小值为_解析：设点 B(x， y)，则 x y20，所以| AB| . x 2 2 y2 x 2 2 x x2 3x 4 (x 32)2 74所以当 x 时，| AB|取得最小值，且| AB|min .32 72答案：728已知 AB 是抛物线 2x2 y 的焦点弦，若| AB|4，则 AB 的中点的纵坐标为3_解析：设 AB 的中点为 P(x0， y0)，分别过 A， P， B 三点作准线的垂线，垂足分别为A， Q， B.由题意得| AA| BB| AB|4，| PQ| 2.|AA | |BB |2又| PQ| y0 ，所以
6、y0 2，解得 y0 .18 18 158答案：1589已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A， B两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为 y22 ax(a0)，则焦点 F ，直线 l： x ，(a2， 0) a2 A， B 两点坐标分别为 ， ，(a2， a) (a2， a)| AB|2| a|. OAB 的面积为 4， | |2|a|4， a2 .12 a2 2抛物线方程为 y24 x.210已知抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(2，4)(1)求抛物线 C 的方程
7、，并求其准线方程；(2)若点 B(0,2)，求过点 B 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程解：(1)由抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(2，4)，可得 164 p，解得 p4.所以抛物线 C 的方程为 y28 x，其准线方程为 x2.(2)当直线 l 的斜率不存在时， x0 符合题意当直线 l 的斜率为 0 时， y2 符合题意当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 y kx2.由Error! 得 ky28 y160.由 6464 k0，得 k1，故直线 l 的方程为 y x2，即 x y20.综上直线 l 的方程为 x0 或 y2 或 x y2
8、0.4层级二 应试能力达标1过点(2,4)作直线 l，与抛物线 y28 x 只有一个公共点，这样的直线 l 有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 B 可知点(2,4)在抛物线 y28 x 上，过点(2,4)与抛物线 y28 x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行2过抛物线 y24 x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A， B 两点，若它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有两条C有无穷多条 D不存在解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义，知| AB| x1 x2 p527.又直线
9、 AB 过焦点且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且| AB|min2 p4，所以这样的直线有两条故选 B.3已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2解析：选 B 易知抛物线的焦点为 F ，(p2， 0)所以过焦点且斜率为 1 的直线的方程为 y x ，即 x y ，p2 p2代入 y22 px 得 y22 p 2 py p2，即 y22 py p20，(yp2)由根与系数的关系得 p2( y1， y2分别为点 A， B 的纵坐标)，y
10、1 y22所以抛物线的方程为 y24 x，准线方程为 x1.4已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A， B 两点，若 0，则 k( )MA MB A. B.12 22C. D22解析：选 D 由题意可知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，5则直线 AB 的方程为 y k(x2)，将其代入 y28 x，得 k2x24( k22) x4 k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!由Error!Error! 0，( x12， y12)( x22， y22)0.MA MB ( x12)( x22)( y12)( y2
11、2)0，即 x1x22( x1 x2)4 y1y22( y1 y2)40.由解得 k2.故选 D 项5已知抛物线 y2 x，则弦长为定值 1 的焦点弦有_条12解析：因为通径的长 2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长 a，若 a2p，则焦点弦存在两条；若 a2 p，则焦点弦存在一条；若 a ，所以弦长为定值 1 的焦点弦有 2 条12答案：26直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A， B 两点，过 A， B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P， Q，则梯形 APQB 的面积为_解析：由Error!消去 y 得 x210 x90，得 x1 或 9，即Error!或Error!所以
12、| AP|10，| BQ|2 或| BQ|10，| AP|2，所以| PQ|8，所以梯形 APQB 的面积 S 848.10 22答案：487设点 P(x， y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点P 到定点 M 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 .(0，12) 12(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l： y kx1 与点 P 的轨迹相交于 A， B 两点，且| AB|2 ，求实数 k 的6值解：(1)过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N，则| PN| y，由题意知| PM| PN| ， y ，12 x2 (y 12)2 12化简得 x22
13、y.故点 P 的轨迹方程为 x22 y.6(2)由题意设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 消去 y 化简得 x22 kx20， x1 x22 k， x1x22.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 82 ，6 k43 k240，又 k20， k21， k1.8已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且| QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M， N 两点，且 A
14、， M， B， N 四点在同一圆上，求 l 的方程解：(1)设 Q(x0,4)，代入 y22 px 得 x0 .8p所以| PQ| ，| QF| x0 .8p p2 p2 8p由题设得 ，解得 p2(舍去)或 p2.p2 8p 54 8p所以 C 的方程为 y24 x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x my1( m0)代入 y24 x 得 y24 my40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 m， y1y24.故 AB 的中点为 D(2m21,2 m)，|AB| |y1 y2|m2 1 m2 1 y1 y2 2 4y1y24( m21)又
15、 l的斜率为 m，所以 l的方程为 x y2 m23.1m将上式代入 y24 x，并整理得 y2 y4(2 m23)0.4m7设 M(x3， y3)， N(x4， y4)，则 y3 y4 ， y3y44(2 m23)4m故 MN 的中点为 E ，(2m2 2m2 3， 2m)|MN| |y3 y4|1 1m2 1 1m2 y3 y4 2 4y3y4 .4 m2 1 2m2 1m2由于 MN 垂直平分 AB，故 A， M， B， N 四点在同一圆上等价于| AE| BE| |MN|，12从而 |AB|2| DE|2 |MN|2，14 14即 4(m21) 2 2 2 .(2m2m) (2m2 2) 4 m2 1 2 2m2 1m4化简得 m210，解得 m1 或 m1.所求直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.
