1、1课时跟踪检测（十九） 函数的最大(小)值与导数层级一 学业水平达标1设函数 f(x)2 x 1( x0)，则 f(x)( )1xA有最大值 B有最小值C是增函数 D是减函数解析：选 A f( x)2 ，1x2 2x2 1x2令 f( x)0，得 x .22当 x 时， f( x)0；当 x0 时， f( x)0， x 是函数 f(x)的22 22 22极大值点，也是最大值点故 f(x)有最大值，无最小值2函数 y2 x33 x212 x5 在2,1上的最大值、最小值分别是( )A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：选 A y6 x26 x12，由 y0 x1 或 x2(舍去)x2
2、 时， y1； x1 时， y12； x1 时， y8. ymax12， ymin8.故选 A.3函数 f(x)2 ， x(0,5的最小值为( )x1xA2 B3C. D2 174 2 12解析：选 B 由 f( x) 0，得 x1，1x 1x2 x 1x2且 x(0,1)时， f( x)0， x(1,5时， f( x)0， x1 时， f(x)最小，最小值为 f(1)3.4函数 f(x) x44 x(|x|0 得 sin x ， 2 ， 6 6 3 6 3 2当 x 时取最大值，故应选 B. 66函数 f(x) x2 (x0)的最小值是_54x解析： f( x)2 x .令 f( x)0，得
3、 x3.54x2当 x3 时， f( x)0；当3 x0 时， f( x)0.所以当 x3 时， f(x)取得极小值，也是最小值，所以 f(x)min27.答案：277函数 f(x) xe x， x0,4的最小值为_解析： f( x)e x xe xe x(1 x)令 f( x)0，得 x1(e x0)， f(1) 0， f(0)0， f(4) 0，1e 4e4所以 f(x)的最小值为 0.答案：038若函数 f(x) x33 x a 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m， n，则m n_.解析： f( x)3 x23，当 x1 或 x1 时， f( x)0；当1 x1 时， f( x)0
4、. f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增 f(x)min f(1)13 a2 a n.又 f(0) a， f(3)18 a， f(0) f(3) f(x)max f(3)18 a m， m n18 a(2 a)20.答案：209已知 k 为实数， f(x)( x24)( x k)(1)求导函数 f( x)；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解：(1) f(x) x3 kx24 x4 k， f( x)3 x22 kx4.(2)由 f(1)0，得 k .12 f(x) x3 x24 x2， f( x)3 x2 x4.12由 f( x)0，
5、得 x1 或 x .43又 f(2)0， f(1) ， f ， f(2)0，92 (43) 5027 f(x)在区间2,2上的最大值为 ，最小值为 .92 502710已知函数 f(x) x3 ax2 bx5，曲线 y f(x)在点 P(1， f(1)处的切线方程为y 3 x1.(1)求 a， b 的值；(2)求 y f(x)在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点 P(1， f(1)为切点，代入切线方程 y3 x1 可得，f(1)3114， f(1)1 a b54，即 a b2，又由 f(x) x3 ax2 bx5 得，又 f( x)3 x22 ax b，4而由切线 y3 x1 的斜率可知
6、f(1)3，32 a b3，即 2a b0，由Error! 解得Error! a2， b4.(2)由(1)知 f(x) x32 x24 x5，f( x)3 x24 x4(3 x2)( x2)，令 f( x)0，得 x 或 x2.23当 x 变化时， f(x)， f( x)的变化情况如下表：x 3(3，2)2 ( 2，23) 23 (23， 1)1f( x) 0 0 f(x) 8 极大值 极小值 4 f(x)的极大值为 f(2)13，极小值为 f ，(23) 9527又 f(3)8， f(1)4， f(x)在3,1上的最大值为 13.层级二 应试能力达标1函数 f(x) 在区间2,4上的最小值为
7、( )xexA0 B.1eC. D.4e4 2e2解析：选 C f( x) ，当 x2,4时， f( x)0，ex xex ex 2 1 xex即函数 f(x)在2,4上是单调递减函数，故当 x4 时，函数 f(x)有最小值 .4e42函数 f(x) x33 ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为( )A0,1) B(0,1)C(1,1) D.(0，12)解析：选 B f( x)3 x23 a，令 f( x)0，可得 a x2，5又 x(0,1)，0 a1，故选 B.3若函数 f(x) x33 x29 x k 在区间4,4上的最大值为 10，则其最小值为( )A10 B71C1
8、5 D22解析：选 B f( x)3 x26 x93( x3)( x1)由 f( x)0，得 x3 或 x1.又 f(4) k76， f(3) k27，f(1) k5， f(4) k20.由 f(x)max k510，得 k5， f(x)min k7671.4已知当 x 时，函数 f(x) txsin x(tR)的值恒小于零，则 t 的取值范(0， 2)围是( )A. B.( ，2 ( ， 2C. D.2 ， 2， )解析：选 A f(x) txsin x0 在 x 内恒成立，即 t 在 内恒(0， 2) sin xx (0， 2)成立令 g(x) ，则 g( x) .sin xx xcos
9、x sin xx2令 (x) xcos xsin x，则 ( x) xsin x，当 x 时， ( x)0， (x)在 上单调递减，(0， 2) (0， 2) (x) (0)0，sin x xcos x， g( x)0， g(x)在 内单调递减， t .(0， 2)sin 2 2 25设函数 f(x) x2ex，若当 x2,2时，不等式 f(x) m 恒成立，则实数 m 的取12值范围是_解析： f( x) xex x2ex x(x2)，12 ex2由 f( x)0 得 x0 或 x2.当 x2,2时， f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：6x 2 (2,0) 0 (0,2) 2f
10、( x) 0 0 f(x) 2e2 0 2e2当 x0 时， f(x)min f(0)0，要使 f(x) m 对 x2,2恒成立，只需 m f(x)min， m0.答案：(，0)6已知函数 y x22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析： y2 x2，令 y0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若 a1，则最大值为 f(a) a22 a3 ，154解得 a ；12(a 32舍 去 )若 a1，则最大值为 f(1)1234 .154综上知， a .12答案：127已知函数 f(x) ax3 x2 bx(其中常数 a， bR)， g(x) f(x) f(
11、 x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式；(2)求 g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1) f( x)3 ax22 x b， g(x) f(x) f( x) ax3(3 a1) x2( b2) x b. g(x)是奇函数， g( x) g(x)，从而 3a10， b0，解得 a ， b0，13因此 f(x)的表达式为 f(x) x3 x2.13(2)由(1)知 g(x) x32 x，13 g( x) x22，令 g( x)0.解得 x1 (舍去)， x2 ，2 27而 g(1) ， g( ) ， g(2) ，53 2 423 43因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g( ) ，最小值为 g(2) .2423 438已知函数 f(x)ln x .ax(1)当 a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当 a0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1) a0， f(x)单调递增，所以，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a1 ，得 a .32 e当 ae 时，函数 f(x)在1，e上有 f( x)e 时，显然函数 f(x)在1，e上单调递减，其最小值为 f(e)1 2，仍与最ae小值是 相矛盾；32综上所述， a 的值为 .e8
