1、1课时跟踪检测（十三） 用数学归纳法证明不等式举例1下列四个判断中，正确的是( )A式子 1 k k2 kn(nN )，当 n1 时恒为 1B式子 1 k k2 kn1 (nN )，当 n1 时恒为 1 kC式子 1 (nN )，当 n1 时恒为 1 12 13 12n 1 12 13D设 f(n) (nN )，1n 1 1n 2 13n 1则 f(k1) f(k) 13k 2 13k 3 13k 4解析：选 C 选项 A 中， n1 时，式子应为 1 k；选项 B 中， n1 时，式子应为 1；选项 D 中， f(k1) f(k) .13k 2 13k 3 13k 4 1k 12用数学归纳法
2、证明“2 n n21 对于 n n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3C5 D6解析：选 C 令 n0分别取 2,3,4,5,6，依次验证即得3某个命题与正整数 n 有关，若 n k(kN )时该命题成立，那么可推得当 n k1时该命题也成立现已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立D当 n4 时该命题成立解析：选 C 如果 n4 时命题成立，那么由题设， n5 时命题也成立上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是如果 n5 时命题不成立，那么 n4 时命题也不成立原命题成
3、立，它的逆否命题一定成立4设 n 为正整数， f(n)1 ，计算得 f(2) ， f(4)2， f(8)12 13 1n 32 ， f(16)3， f(32) ，观察上述记录，可推测出一般结论( )52 72A f(2n) B f(n2)2n 12 n 22C f(2n) D以上都不对n 222解析：选 C f(2) ， f(4) f(22)2 ， f(8) f(23) ， f(16) f(24)32 42 52 ， f(32) f(25) ，所以 f(2n) .62 72 n 225证明 1)，当 n2 时，要证明的式子为_n 22 12 13 12n解析：当 n2 时，要证明的式子为 2
4、时， f(2k1 )12 13 1n n2 f(2k)_.解析： f(2k1 )1 ，12 13 12k 12k 1 12k 1f(2k)1 ，所以12 13 12kf(2k1 ) f(2k) .12k 1 12k 2 12k 1答案： 12k 1 12k 2 12k 18用数学归纳法证明，对任意 nN ，有(12 n) n2.(112 13 1n)证明：(1)当 n1 时，左边右边，不等式成立当 n2 时，左边(12) 22，不等式成立(112) 923(2)假设当 n k(k2)时不等式成立，即(12 k) k2.(112 1k)则当 n k1 时，有左边(12 k)( k1)Error!
5、Error!(12 k) (12 k) ( k1) 1(112 1k) 1k 1 (1 12 1k) k2 1( k1) .k2 (1 12 1k)当 k2 时，1 1 ，(*)12 1k 12 32左边 k2 1( k1) k22 k1 ( k1) 2.k2 32 32这就是说当 n k1 时，不等成立由(1)(2)可知当 n1 时，不等式成立9已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： Sn 1，且 an0， nN .an2 1an(1)求 a1， a2， a3，并猜想 an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当 n1 时，由已知得 a1 1，a12 1a1即 a 2 a120.
6、21 a1 1( a10)3当 n2 时，由已知得 a1 a2 1，a22 1a2将 a1 1 代入并整理得 a 2 a220.3 2 3 a2 (a20)5 3同理可得 a3 .7 5猜想 an (nN )2n 1 2n 1(2)证明：由(1)知，当 n1 时，通项公式成立假设当 n k(kN )时，通项公式成立，即 ak .2k 1 2k 1由于 ak1 Sk1 Sk ，ak 12 1ak 1 ak2 1ak将 ak 代入上式，整理得2k 1 2k 1a 2 ak1 20，2k 1 2k 14 ak1 ，2k 3 2k 1即 n k1 时通项公式成立由可知对所有 nN ， an 都成立2n
7、 1 2n 110设数列 an满足 an1 a nan1， n1,2,3.2n(1)当 a12 时，求 a2， a3， a4，并由此猜想出 an的一个通项公式；(2)当 a3 时，证明对所有的 n1，有 an n2.解：(1)由 a12，得 a2 a a113，21由 a23，得 a3 a 2 a214，2由 a34，得 a4 a 3 a315.23由此猜想 an的一个通项公式：an n1( n1) (2)证明：用数学归纳法证明当 n1， a1312，不等式成立假设当 n k 时不等式成立，即 ak k2，那么，当 n k1 时ak1 ak(ak k)1( k2)( k2 k)1 k3，也就是说，当 n k1 时，ak1 ( k1)2.根据和，对于所有 n1，有 an n2.
