1、1课时跟踪检测（十一） 抛物线及其标准方程层级一 学业水平达标1抛物线 y12 x2上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C. D.148 124解析：选 C 将方程化为标准形式是 x2 y，112因为 2p ，所以 p .112 124故到焦点的距离最小值为 .1482已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切，则 p的值为( )A. B112C2 D4解析：选 C 抛物线 y22 px的准线 x 与圆( x3) 2 y216 相切，p2 1，即 p2.p23若抛物线 y22 px(p0)上横坐标是 2的点 M到抛物线焦点的距离是 3，则 p( )A1 B
2、2C4 D8解析：选 B 抛物线的准线方程为 x ，点 M到焦点的距离为 3，p22 3， p2.p24过抛物线 y24 x的焦点 F的直线交抛物线于 A， B两点， O为坐标原点，若|AF|3，则 AOB的面积为( )A. B.22 2C. D2322 2解析：选 C 焦点 F(1,0)，设 A， B分别在第一、四象限，则由点 A到准线 l： x1 的距离为 3，得 A的横坐标为 2，纵坐标为 2 ，2直线 AB的方程为 y2 (x1)，22与抛物线方程联立可得 2x25 x20，所以点 B的横坐标为 ，纵坐标为 ，12 2所以 S AOB 1(2 ) .12 2 2 3225已知双曲线 C
3、1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的x2a2 y2b2焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析：选 D 双曲线的渐近线方程为 y x，ba由于 2，所以 ，ca a2 b2a2 1 (ba)2 ba 3所以双曲线的渐近线方程为 y x.抛物线的焦点坐标为 ，3 (0，p2)所以 2，所以 p8，所以抛物线方程为 x216 y.p226已知抛物线 C：4 x ay20 恰好经过圆 M：( x1) 2( y2) 21 的圆心，则抛物线C的焦点坐标为
4、_，准线方程为_解析：圆 M的圆心为(1,2)，代入 4x ay20 得 a1，将抛物线 C的方程化为标准方程得 y24 x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x1.答案：(1,0) x17已知抛物线 y22 px(p0)上一点 M(1， m)到其焦点的距离为 5，双曲线 x2 1y2a的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM垂直，则实数 a_.解析：根据抛物线的定义得 1 5， p8.不妨取 M(1,4)，p2则 AM的斜率为 2，由已知得 21，故 a .a14答案：148对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在 y轴上；3焦点在 x轴上；抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于
5、 6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为 y210 x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线 y210 x的焦点在 x轴上，满足，不满足；设 M(1， y0)是 y210 x上一点，则| MF|1 1 6，所以不满足；p2 52 72由于抛物线 y210 x的焦点为 ，过该焦点的直线方程为 y k ，若由原点向(52， 0) (x 52)该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则 k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的距离为 5，求 m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的
6、方程为 x22 py(p0)，则焦点 F ，准线 l： y ，作 MN l，垂足为 N，(0， p2) p2则| MN| MF|5，而| MN|3 ，3 5，p2 p2即 p4.所以抛物线方程为 x28 y，准线方程为 y2.由 m28(3)24，得 m2 .6法二：设所求抛物线方程为 x22 py(p0)，则焦点为 F .(0， p2) M(m，3)在抛物线上，且| MF|5，故Error! 解得Error!抛物线方程为 x28 y， m2 ，准线方程为 y2.610.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部
7、在竖直方向上高度之差至少要有 0.5米(1)以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB为 7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为 x22 py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，4所以该抛物线的方程为 x25 y.(2)设车辆高为 h，则| DB| h0.5，故 D(3.5， h6.5)，代入方程 x25 y，解得 h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0米层级二 应试能力达标1设抛物线 y28 x上一点 P到 y轴的距离是 4
8、，则点 P到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6C8 D12解析：选 B 由抛物线的方程得 2，p2 42再根据抛物线的定义，可知所求距离为 426.2抛物线 y24 x的焦点为 F，点 P为抛物线上的动点，点 M为其准线上的动点，当 FPM为等边三角形时，其面积为( )A2 B43C6 D4 3解析：选 D 如图， FPM是等边三角形由抛物线的定义知 PM l.在 Rt MQF中，| QF|2， QMF30，| MF|4， S PMF 424 .故选 D.34 33设圆 C与圆 x2( y3) 21 外切，与直线 y0 相切，则 C的圆心的轨迹为( )A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选
9、A 法一：设圆 C的半径为 r，则圆心 C到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切，得圆心 C到点(0,3)的距离为 r1，也就是说，圆心 C到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，故点 C到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C的轨迹为抛物线法二：设圆 C的圆心坐标为( x， y)，半径为 r，点 A(0,3)，由题意得| CA| r1 y1， y1，化简得 y x21，x2 y 3 2185圆心的轨迹是抛物线4经过抛物线 C的焦点 F作直线 l与抛物线 C交于 A， B两点，如果 A， B在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1， B1，那么 A1
10、FB1为( )A. B.6 4C. D.2 23解析：选 C 由抛物线的定义可知| BF| BB1|，| AF| AA1|，故 BFB1 BB1F， AFA1 AA1F.又 OFB1 BB1F， OFA1 AA1F，故 BFB1 OFB1， AFA1 OFA1，所以 OFA1 OFB1 ，即 A1FB1 .12 2 25设 F为抛物线 y24 x的焦点， A， B， C为该抛物线上三点，若 0，则| | | |_.FA FB FC FA FB FC 解析：因为 0，FA FB FC 所以点 F为 ABC的重心，则 A， B， C三点的横坐标之和为点 F的横坐标的三倍，即 xA xB xC3，所
11、以| | | | xA1 xB1 xC16.FA FB FC 答案：66已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y23 a2(a0)的左、右焦点， P是抛物线 y28 ax与双曲线的一个交点，若| PF1| PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程，得 1，x2a2 y23a2其焦点坐标为(2 a,0)，(2 a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程Error! x3 a，而由Error! |PF2|6 a，| PF2|3 a2 a6 a，得 a1，抛物线的方程为 y28 x，其准线方程为 x2.答案： x27.如图，已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为
12、 F， A是抛物线上横坐标为 4，且位于 x轴上方的点，点 A到抛物线准线的距离等于 5，过点 A作 AB垂直于 y轴，垂足为点 B， OB的中点为 M.6(1)求抛物线的方程；(2)过点 M作 MN FA，垂足为 N，求点 N的坐标解：(1)抛物线 y22 px的准线方程为 x ，p2于是 4 5， p2，所以抛物线的方程为 y24 x.p2(2)由题意得 A(4,4)， B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)，所以 kAF ，则直线 FA的方程为 y (x1)43 43因为 MN FA，所以 kMN ，34则直线 MN的方程为 y x2.34解方程组Error!得Error!所以 N
13、 .(85， 45)8设 P是抛物线 y24 x上的一个动点， F为抛物线的焦点(1)若点 P到直线 x1 的距离为 d， A(1,1)，求| PA| d的最小值；(2)若 B(3,2)，求| PB| PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线的定义，知| PF| d，于是问题转化为求| PA| PF|的最小值如图，连接 AF，交抛物线于点 P，则最小值为 .22 12 5(2)把点 B的横坐标代入 y24 x中，得 y ，12因为 2，所以点 B在抛物线内部12自点 B作 BQ垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图)由抛物线的定义，知| P1Q| P1F|， 则| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|314.即| PB| PF|的最小值为 4.7
