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    版选修1_1.doc

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    版选修1_1.doc

    1、1课时跟踪检测(十一) 抛物线及其标准方程层级一 学业水平达标1抛物线 y12 x2上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C. D.148 124解析:选 C 将方程化为标准形式是 x2 y,112因为 2p ,所以 p .112 124故到焦点的距离最小值为 .1482已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切,则 p的值为( )A. B112C2 D4解析:选 C 抛物线 y22 px的准线 x 与圆( x3) 2 y216 相切,p2 1,即 p2.p23若抛物线 y22 px(p0)上横坐标是 2的点 M到抛物线焦点的距离是 3,则 p( )A1 B

    2、2C4 D8解析:选 B 抛物线的准线方程为 x ,点 M到焦点的距离为 3,p22 3, p2.p24过抛物线 y24 x的焦点 F的直线交抛物线于 A, B两点, O为坐标原点,若|AF|3,则 AOB的面积为( )A. B.22 2C. D2322 2解析:选 C 焦点 F(1,0),设 A, B分别在第一、四象限,则由点 A到准线 l: x1 的距离为 3,得 A的横坐标为 2,纵坐标为 2 ,2直线 AB的方程为 y2 (x1),22与抛物线方程联立可得 2x25 x20,所以点 B的横坐标为 ,纵坐标为 ,12 2所以 S AOB 1(2 ) .12 2 2 3225已知双曲线 C

    3、1: 1( a0, b0)的离心率为 2.若抛物线 C2: x22 py(p0)的x2a2 y2b2焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析:选 D 双曲线的渐近线方程为 y x,ba由于 2,所以 ,ca a2 b2a2 1 (ba)2 ba 3所以双曲线的渐近线方程为 y x.抛物线的焦点坐标为 ,3 (0,p2)所以 2,所以 p8,所以抛物线方程为 x216 y.p226已知抛物线 C:4 x ay20 恰好经过圆 M:( x1) 2( y2) 21 的圆心,则抛物线C的焦点坐标为

    4、_,准线方程为_解析:圆 M的圆心为(1,2),代入 4x ay20 得 a1,将抛物线 C的方程化为标准方程得 y24 x,故焦点坐标为(1,0),准线方程为 x1.答案:(1,0) x17已知抛物线 y22 px(p0)上一点 M(1, m)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2 1y2a的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM垂直,则实数 a_.解析:根据抛物线的定义得 1 5, p8.不妨取 M(1,4),p2则 AM的斜率为 2,由已知得 21,故 a .a14答案:148对标准形式的抛物线,给出下列条件:焦点在 y轴上;3焦点在 x轴上;抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于

    5、 6;由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为 y210 x的是_(要求填写适合条件的序号)解析:抛物线 y210 x的焦点在 x轴上,满足,不满足;设 M(1, y0)是 y210 x上一点,则| MF|1 1 6,所以不满足;p2 52 72由于抛物线 y210 x的焦点为 ,过该焦点的直线方程为 y k ,若由原点向(52, 0) (x 52)该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k2,此时存在,所以满足答案:9已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y轴上,抛物线上一点 M(m,3)到焦点的距离为 5,求 m的值、抛物线方程和准线方程解:法一:如图所示,设抛物线的

    6、方程为 x22 py(p0),则焦点 F ,准线 l: y ,作 MN l,垂足为 N,(0, p2) p2则| MN| MF|5,而| MN|3 ,3 5,p2 p2即 p4.所以抛物线方程为 x28 y,准线方程为 y2.由 m28(3)24,得 m2 .6法二:设所求抛物线方程为 x22 py(p0),则焦点为 F .(0, p2) M(m,3)在抛物线上,且| MF|5,故Error! 解得Error!抛物线方程为 x28 y, m2 ,准线方程为 y2.610.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部

    7、在竖直方向上高度之差至少要有 0.5米(1)以抛物线的顶点为原点 O,其对称轴所在的直线为 y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;(2)若行车道总宽度 AB为 7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1米)?解:如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为 x22 py(p0),因为点 C(5,5)在抛物线上,4所以该抛物线的方程为 x25 y.(2)设车辆高为 h,则| DB| h0.5,故 D(3.5, h6.5),代入方程 x25 y,解得 h4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0米层级二 应试能力达标1设抛物线 y28 x上一点 P到 y轴的距离是 4

    8、,则点 P到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6C8 D12解析:选 B 由抛物线的方程得 2,p2 42再根据抛物线的定义,可知所求距离为 426.2抛物线 y24 x的焦点为 F,点 P为抛物线上的动点,点 M为其准线上的动点,当 FPM为等边三角形时,其面积为( )A2 B43C6 D4 3解析:选 D 如图, FPM是等边三角形由抛物线的定义知 PM l.在 Rt MQF中,| QF|2, QMF30,| MF|4, S PMF 424 .故选 D.34 33设圆 C与圆 x2( y3) 21 外切,与直线 y0 相切,则 C的圆心的轨迹为( )A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析:选

    9、A 法一:设圆 C的半径为 r,则圆心 C到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切,得圆心 C到点(0,3)的距离为 r1,也就是说,圆心 C到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1,故点 C到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等,符合抛物线的特征,故点 C的轨迹为抛物线法二:设圆 C的圆心坐标为( x, y),半径为 r,点 A(0,3),由题意得| CA| r1 y1, y1,化简得 y x21,x2 y 3 2185圆心的轨迹是抛物线4经过抛物线 C的焦点 F作直线 l与抛物线 C交于 A, B两点,如果 A, B在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1, B1,那么 A1

    10、FB1为( )A. B.6 4C. D.2 23解析:选 C 由抛物线的定义可知| BF| BB1|,| AF| AA1|,故 BFB1 BB1F, AFA1 AA1F.又 OFB1 BB1F, OFA1 AA1F,故 BFB1 OFB1, AFA1 OFA1,所以 OFA1 OFB1 ,即 A1FB1 .12 2 25设 F为抛物线 y24 x的焦点, A, B, C为该抛物线上三点,若 0,则| | | |_.FA FB FC FA FB FC 解析:因为 0,FA FB FC 所以点 F为 ABC的重心,则 A, B, C三点的横坐标之和为点 F的横坐标的三倍,即 xA xB xC3,所

    11、以| | | | xA1 xB1 xC16.FA FB FC 答案:66已知 F1, F2分别是双曲线 3x2 y23 a2(a0)的左、右焦点, P是抛物线 y28 ax与双曲线的一个交点,若| PF1| PF2|12,则抛物线的准线方程为_解析:将双曲线方程化为标准方程,得 1,x2a2 y23a2其焦点坐标为(2 a,0),(2 a,0)与抛物线的焦点重合,联立抛物线与双曲线方程Error! x3 a,而由Error! |PF2|6 a,| PF2|3 a2 a6 a,得 a1,抛物线的方程为 y28 x,其准线方程为 x2.答案: x27.如图,已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为

    12、 F, A是抛物线上横坐标为 4,且位于 x轴上方的点,点 A到抛物线准线的距离等于 5,过点 A作 AB垂直于 y轴,垂足为点 B, OB的中点为 M.6(1)求抛物线的方程;(2)过点 M作 MN FA,垂足为 N,求点 N的坐标解:(1)抛物线 y22 px的准线方程为 x ,p2于是 4 5, p2,所以抛物线的方程为 y24 x.p2(2)由题意得 A(4,4), B(0,4), M(0,2)又 F(1,0),所以 kAF ,则直线 FA的方程为 y (x1)43 43因为 MN FA,所以 kMN ,34则直线 MN的方程为 y x2.34解方程组Error!得Error!所以 N

    13、 .(85, 45)8设 P是抛物线 y24 x上的一个动点, F为抛物线的焦点(1)若点 P到直线 x1 的距离为 d, A(1,1),求| PA| d的最小值;(2)若 B(3,2),求| PB| PF|的最小值解:(1)依题意,抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1.由抛物线的定义,知| PF| d,于是问题转化为求| PA| PF|的最小值如图,连接 AF,交抛物线于点 P,则最小值为 .22 12 5(2)把点 B的横坐标代入 y24 x中,得 y ,12因为 2,所以点 B在抛物线内部12自点 B作 BQ垂直准线于点 Q,交抛物线于点 P1(如图)由抛物线的定义,知| P1Q| P1F|, 则| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|314.即| PB| PF|的最小值为 4.7


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