1、1课时跟踪检测 (十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程一、选择题1曲线Error!( t 为参数)的焦点坐标是( )A(1,0) B(0,1)C(1,0) D(0，1)解析：选 B 将参数方程化为普通方程( y1) 24( x1)，该曲线为抛物线 y24 x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)2已知抛物线的参数方程为Error!( t 为参数， p0)，点 A， B 在曲线上对应的参数分别为 t1和 t2，若 t1 t20，则| AB|等于( )A2 p(t1 t2) B2 p(t t )21 2C2 p|t1 t2| D2 p(t1 t2)2解析：选 C 因为 x12
2、pt ， x22 pt ，所以 x1 x22 p(t t )21 2 21 22 p(t1 t2)(t1 t2)0，所以| AB| y2 y1|，又因为 y12 pt1， y22 pt2，所以|y2 y1|2 p|t1 t2|.故选 C.3方程Error!( t 为参数)的图形是( )A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支解析：选 B x2 y2e 2t2e 2 t(e 2t2e 2 t)4.且xe te t2 2. 表示双曲线的右支ete t4 P 为双曲线Error!( 为参数)上任意一点， F1， F2为其两个焦点，则 F1PF2重心的轨迹方程是( )A9 x216 y21
3、6( y0)B9 x216 y216( y0)C9 x216 y21( y0)D9 x216 y21( y0)解析：选 A 由题意知 a4， b3，可得 c5，故 F1(5,0)， F2(5,0)，设 P(4sec ，3tan )，重心 M(x， y)，则x sec ， y tan . 5 5 4sec 3 43 0 0 3tan 3从而有 9x216 y216( y0)二、填空题5曲线Error!( t 为参数)与 x 轴的交点坐标是_解析：将曲线的参数方程化为普通方程为( x2) 29( y1)，令 y0，得 x1 或2x5，故交点坐标为(1,0)，(5,0)答案：(1,0)，(5,0)6
4、双曲线Error!( 为参数)的两条渐近线的倾斜角为_解析：将参数方程化为 y2 1，此时 a1， b ，x23 3设渐近线倾斜角为 ，则 tan .13 33 30或 150.答案：30或 1507点 P(1,0)到曲线Error!( t 为参数)上的点的最短距离为_解析：设点 P(1,0)到曲线上的点的距离为 d，则 d x 1 2 y 0 2 t211.所以点 P 到曲线上的点的距离的最小值 t2 1 2 2t 2 t2 1 2为 1.答案：1三、解答题8设 P 为等轴双曲线 x2 y21 上的一点， F1和 F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P| OP|2.证明：如图，设双曲线上的动
5、点为 P(x， y)，焦点 F1( ，0)， F2( ，0)，双曲线2 2的参数方程为Error!则(| F1P|F2P|)2(sec )2tan 2 (sec )2tan 2 2 2(sec 2 2 sec 2tan 2 )(sec2 2 sec 2 2 2tan 2 )( sec 1) 2( sec 1) 2(2sec 2 1) 2.2 2又| OP|2sec 2 tan 2 2sec 2 1，由此得| F1P|F2P| OP|2.9求点 P(0,1)到双曲线 x2 y24 的最小距离解：设双曲线 x2 y24 上任一点坐标为 M ，(2cos ， 2tan )则| PM|2 2(2tan
6、 1) 2(2cos )4(1tan 2 )4tan 2 4tan 18tan 2 4tan 58 2 .(tan 14) 92则当 tan 时，| PM| .14 2min 923所以| PM|min ，即点 P 到双曲线的最小距离为 .322 32210.如图， O 是直角坐标原点， A， B 是抛物线 y22 px(p0)上异于顶点的两动点，且 OA OB，点 A， B 在什么位置时， AOB 的面积最小？最小值是多少？解：根据题意，设点 A， B 的坐标分别为(2 pt ，2 pt1)，(2 pt ，2 pt2)(t1 t2，且21 2t1t20)，则|OA| 2 p|t1| ， 2p
7、t21 2 2pt1 2 t21 1|OB| 2 p|t2| . 2pt2 2 2pt2 2 t2 1因为 OA OB，所以 0，OA OB 即 2pt 2pt 2 pt12pt20，21 2所以 t1t21.所以 AOB 的面积为S AOB |OA|OB|12 2p|t1| 2p|t2|12 t21 1 t2 12 p2|t1t2| t21 1 t2 12 p2 t21 t2 22 p2t21 1t21 22 p2 4 p2.2 2当且仅当 t ，即 t11， t21 时，等号成立211t21所以点 A， B 的坐标分别为(2 p,2p)，(2 p，2 p)时， AOB 的面积最小，最小值为 4p2.4
