1、1课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1若椭圆 1 上一点 P 到焦点 F1的距离为 3，则点 P 到另一焦点 F2的距离为( )x225 y24A6 B7C8 D9解析：选 B 根据椭圆的定义知，| PF1| PF2|2 a2510，因为| PF1|3，所以| PF2|7.2若椭圆 1 的焦距为 2，则 m 的值为( )x2m y24A5 B3C5 或 3 D8解析：选 C 由题意得 c1， a2 b2 c2.当 m4 时， m415；当 m0，常数)；命题乙： P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解
2、析：选 B 利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则| PA| PB|2 a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若| PA| PB|2 a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为：仅当 2a|AB|时， P 点轨迹才是椭圆；而当 2a| AB|时， P 点轨迹是线段AB；当 2a3 B a3 或 a3 或6a60 得Error!所以Error!所以 a3 或6b0)，x2a2 y2b2且可知左焦点为 F(2,0)从而有Error! 解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y212法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( ab0
3、)，x2a2 y2b2则Error! 解得 b212 或 b23(舍去)，从而 a216.所以椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y212答案： 1x216 y2128椭圆的两焦点为 F1(4,0)， F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_3解析：如图，当 P 在 y 轴上时 PF1F2的面积最大， 8b12， b3.12又 c4， a2 b2 c225.椭圆的标准方程为 1.x225 y29答案： 1x225 y299求符合下列条件的椭圆的标准方程(1)过点 和 ；(63， 3) (223， 1)(2)过点(3,2)且与椭圆 1 有相同的焦点x29
4、 y24解：(1)设所求椭圆方程为 mx2 ny21( m0， n0， m n)椭圆过点 和 ，(63， 3) (223， 1)Error! 解得Error!所求椭圆的标准方程为 x2 1.y29(2)由题意得已知椭圆 1 中 a3， b2，x29 y24且焦点在 x 轴上， c2945.设所求椭圆方程为 1.x2a 2 y2a 2 5点(3,2)在所求椭圆上， 1. a 215 或 a 23(舍去)9a 2 4a 2 5所求椭圆的标准方程为 1.x215 y21010已知椭圆 1( ab0)的焦点分别是 F1(0，1)， F2(0,1)，且 3a24 b2.y2a2 x2b2(1)求椭圆的标
5、准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且| PF1| PF2|1，求 F1PF2的余弦值解：(1)依题意，知 c21，又 c2 a2 b2，且 3a24 b2，所以 a2 a21，即 a21，所以 a24， b23，34 144故椭圆的标准方程为 1.y24 x23(2)由于点 P 在椭圆上，所以| PF1| PF2|2 a224.又| PF1| PF2|1，所以| PF1| ，| PF2| .52 32又| F1F2|2 c2，所以由余弦定理得 cos F1PF2 .(52)2 (32)2 2225232 35故 F1PF2的余弦值等于 .35层级二 应试能力达标1下列说法中正确的是( )A
6、已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹 是椭圆B已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 6 的点的轨迹 是椭圆C平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点 F1(4,0)， F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选 C A 中，| F1F2|8，则平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是线段，所以 A 错误；B 中，到 F1， F2两点的距离之和等于 6，小于| F1F2|，这样的轨
7、迹不存在，所以 B 错误；C 中，点 M(5,3)到 F1， F2两点的距离之和为 4 5 4 2 32 5 4 2 32 10|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以 C 正确；D 中，轨迹应是线段 F1F2的垂直平分线，所以 D 错误故选 C.2椭圆 1 的焦点为 F1， F2， P 为椭圆上的一点，已知 0，则x225 y29 PF1 PF2 F1PF2的面积为( )A9 B12C10 D8解析：选 A 0， PF1 PF2.PF1 PF2 | PF1|2| PF2|2| F1F2|2且| PF1| PF2|2 a.又 a5， b3， c4，Error!5 2，得 2|PF1|PF2|36，
8、| PF1|PF2|18， F1PF2的面积为 S |PF1|PF2|9.123若 ，方程 x2sin y2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 的(0， 2)取值范围是( )A. B.( 4， 2) (0， 4C. D.(0， 4) 4， 2)解析：选 A 易知 sin 0，cos 0，方程 x2sin y2cos 1 可化为 1.因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以 0，即 sin cos x21sin y21cos 1cos 1sin 0.又 ，所以 b0)或 1( ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!所以 b2 a2 c212.于是
9、所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x212法二：设所求的椭圆方程为 1( ab0)或 1( ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2两个焦点分别为 F1， F2.由题意知 2a| PF1| PF2|358，所以 a4.在方程 1 中，令 x c，得| y| ；x2a2 y2b2 b2a在方程 1 中，令 y c，得| x| .y2a2 x2b2 b2a依题意有 3，得 b212.b2a于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x2128. 如图在圆 C：( x1) 2 y225 内有一点 A(1,0) Q 为圆 C 上一点， AQ 的垂直平分线与 C， Q 的连线交于点 M，求点 M 的轨迹方程解：如图，连接 MA.由题意知点 M 在线段 CQ 上，从而有| CQ| MQ| MC|.又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，则| MA| MQ|，故| MA| MC| CQ|5.又 A(1,0)， C(1,0)，7故点 M 的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且 2a5，故 a ， c1， b2 a2 c2 1 .52 254 214故点 M 的轨迹方程为 1.x2254y2214
