1、1课时跟踪检测（九） 双曲线及其标准方程层级一 学业水平达标1已知 F1(8,3)， F2(2,3)，动点 P 满足| PF1| PF2|10，则 P 点的轨迹是( )A双曲线 B双曲线的一支C直线 D一条射线解析：选 D F1， F2是定点，且| F1F2|10，所以满足条件| PF1| PF2|10 的点 P 的轨迹应为一条射线2椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则 a 的值是( )x24 y2a2 x2a y22A. B1 或212C1 或 D112解析：选 D 依题意知Error!解得 a1.3焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A x2 1
2、 B. y21y23 x23C y2 1 D. 1x23 x22 y22解析：选 A 由双曲线定义知，2a 532， 2 2 2 32 2 2 2 32 a1.又 c2， b2 c2 a2413，因此所求双曲线的标准方程为 x2 1.y234 “0 k0， b0)，x2a2 y2b2则 c ，即 a2 b25. 5设 P(x， y)，由线段 PF1的中点坐标为(0,2)，可知Error! 得Error!即点 P 的坐标为( ，4)，5代入双曲线方程，得 1. 5a2 16b2联立，得 a21， b24，即双曲线的标准方程为 x2 1.故选 B.y246设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线
3、 1 的一个焦点，则 m_.y2m x29解析：由点 F(0,5)可知该双曲线 1 的焦点落在 y 轴上，y2m x29所以 m0，且 m95 2，解得 m16.答案：167设点 P 在双曲线 1 上， F1， F2为双曲线的两个焦点，且x29 y216|PF1| PF2|13，则 F1PF2的周长等于_解析：由题意知| F1F2|2 10，| PF2| PF1|6，9 16又| PF1| PF2|13，| PF1|3，| PF2|9， F1PF2的周长为 391022.答案：228已知定点 A， B 且| AB|4，动点 P 满足| PA| PB|3，则| PA|的最小值为_解析：如图所示，
4、点 P 是以 A， B 为焦点的双曲线的右支上的点，3当 P 在 M 处时，| PA|最小，最小值为 a c 2 .32 72答案：729求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2 ，经过点 A(2，5)，焦点在 y 轴上；5(2)与椭圆 1 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为 4.x227 y236解：(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)y2a2 x2b2由题设知， a2 ，且点 A(2，5)在双曲线上，5所以Error! 解得Error!故所求双曲线的标准方程为 1.y220 x216(2)椭圆 1 的两个焦点为 F1(0，3)， F2
5、(0,3)，x227 y236双曲线与椭圆的一个交点为( ，4)(或( ，4)15 15设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2则Error! 解得Error!故所求双曲线的标准方程为 1.y24 x2510已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29 y236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1， F2是双曲线的左、右焦点，且| MF1| MF2|6 ，试判断3 MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c .x29 y24 9 4 5故可设双曲线方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2依题意得Err
6、or!解得 a23， b22.故双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 在双曲线的右支上，则有| MF1| MF2|2 .3又| MF1| MF2|6 ，3解得| MF1|4 ，| MF2|2 .3 34又| F1F2|2 c2 ，5因此在 MF1F2中，| MF1|边最长，由余弦定理可得 cos MF2F1|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2| 0)，6则 1 ，y225 132144 25144所以 y ，即| AF1| .又| AF2| AF1|2 a24，2512 2512所以| AF2|24 .即所求距离分别为 ， .2512 31312 2
7、512 31312答案： ，2512 313127已知 ABC 的两个顶点 A， B 分别为椭圆 x25 y25 的左焦点和右焦点，且三个内角 A， B， C 满足关系式 sin Bsin A sin C.12(1)求线段 AB 的长度；(2)求顶点 C 的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为 y21.x25 a25， b21， c2 a2 b24，则 A(2,0)， B(2,0)，| AB|4.(2)sin Bsin A sin C，12由正弦定理得| CA| CB| |AB|21)y238设圆 C 与两圆( x )2 y24，( x )2 y24 中的一个内切，另一个外切5 5(1)
8、求 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2)已知点 M ， F( ，0)，且 P 为 L 上动点求| MP| FP|的最大值(355， 455) 5解：(1)两圆的圆心分别为 A( ，0)， B( ，0)，半径为 2，5 5设圆 C 的半径为 r.由题意得| CA| r2，| CB| r2 或| CA| r2，| CB| r2，两式相减得| CA| CB|4 或| CA| CB|4，即| CA| CB|4.则圆 C 的圆心轨迹为双曲线，其中 2a4， c ， b21，57圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y21.x24(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点，如图，连接 MF 并延长交双曲线于一点 P，此时| PM| PF| MF|为| PM| FP|的最大值又| MF| 2，(355 5)2 (455)2| MP| FP|的最大值为 2.
