1、1课时跟踪检测（七） 椭圆的简单几何性质层级一 学业水平达标1已知椭圆 C1： 1， C2： 1，则( )x212 y24 x216 y28A C1与 C2顶点相同 B C1与 C2长轴长相同C C1与 C2短轴长相同 D C1与 C2焦距相等解析：选 D 由两个椭圆的标准方程可知： C1的顶点坐标为(2 ，0)，(0，2)，3长轴长为 4 ，短轴长为 4，焦距为 4 ； C2的顶点坐标为 (4,0)，(0，2 )，长轴长3 2 2为 8，短轴长为 4 ，焦距为 4 .故选 D.2 22焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方程是( )A. 1 B.
2、 y21x24 y23 x24C. 1 D x2 1y24 x23 y24解析：选 A 依题意，得 a2， a c3，故 c1， b ，22 12 3故所求椭圆的标准方程是 1.x24 y233若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B.12 32C. D.34 64解析：选 A 依题意， BF1F2是正三角形，在 Rt OBF2中，| OF2| c，| BF2| a， OF2B60，cos 60 ，即椭圆的离心率 e ，故选 A.ca 12 124与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为( )A. 1 B x2 1x2
3、2 y24 y26C. y21 D. 1x26 x28 y25解析：选 B 椭圆 9x24 y236 可化为 1，x24 y29可知焦点在 y 轴上，焦点坐标为(0， )，52故可设所求椭圆方程为 1( ab0)，则 c .y2a2 x2b2 5又 2b2，即 b1，所以 a2 b2 c26，则所求椭圆的标准方程为 x2 1.y265已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF xx2a2 y2b2轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若 2 ，则椭圆的离心率是( )AP PB A. B.32 22C. D.13 12解析：选 D 2 ，| |2| |.AP
4、PB AP PB 又 PO BF， ，|PA|AB| |AO|AF| 23即 ， e .aa c 23 ca 126若椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为_解析：椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍， 2， m .1m 14答案：147已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ， 且过 P(5,4)，则椭圆的55方程为_解析： e ，ca 55 ，c2a2 a2 b2a2 155 a25 b2 a2即 4a25 b2.设椭圆的标准方程为 1( a0)，x2a2 5y24a2椭圆过点 P(5,4)， 1.25a
5、2 5164a2解得 a245.椭圆方程为 1.x245 y2363答案： 1x245 y2368设 F1， F2分别为椭圆 y21 的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若x235 ，则点 A 的坐标是_F1A F2B 解析：设 A(m， n)由 5 ，得 B .F1A F2B (m 625 ， n5)又 A， B 均在椭圆上，所以有Error! 解得Error! 或Error!所以点 A 的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 ，过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A， B
6、 两点，且 ABF2的周长为 16，求椭圆 C 的标准方22程解：设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由 e 知 ，故 ，从而 ， .22 ca 22 c2a2 12 a2 b2a2 12 b2a2 12由 ABF2的周长为| AB| BF2| AF2| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a16，得 a4， b28.故椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y2810椭圆 1( ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使 APO90，求x2a2 y2b2椭圆离心率的取值范围解：设 P(x， y)，由 APO90知，点 P 在以 OA 为直径的圆上，圆的方
7、程是 2 y2 2.(xa2) (a2) y2 ax x2. 又 P 点在椭圆上，故 1. x2a2 y2b2把代入化简，得( a2 b2)x2 a3x a2b20，即( x a)(a2 b2)x ab20， x a， x0， x ，又 0 .22又0b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，线段 F1F2被点 分成 x2a2 y2b2 (b2， 0)53 的两段，则此椭圆的离心率为( )A. B.1617 41717C. D.45 255解析：选 D 依题意得 ， c2 b，c b2c b2 53 a b， e .b2 c2 5ca 2b5b 2553(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( a
8、b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且x2a2 y2b2以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：选 A 以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2 y2 a2，由原点到直线 bx ay2 ab0 的距离 d a，得 a23 b2，2abb2 a25所以 C 的离心率 e .1 b2a2 634若 O 和 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D8解析：选 C 由题意得点 F(1,0)设点 P(x0， y0)，则有 1
9、，可得 y 3 .x204 y203 20 (1 x204) ( x01， y0)， ( x0， y0)，FP OP x0(x01) y x0(x01)3 x03.OP FP 20 (1 x204) x204此二次函数的图象的对称轴为直线 x02.又2 x02，所以当 x02 时， 取得最大值，最大值为 236.OP FP 2245过椭圆 1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_x24 y23解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为 2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为 c1，将 x1 代入 1，得 1，解得 y2 ，即 y ，x24 y23 124 y23 94 32所以最短弦的长为 2 3.
10、32答案：4,36已知椭圆 1( ab0)， A， B 分别为椭圆的左顶点和上顶点， F 为右焦点，且x2a2 y2b2AB BF，则椭圆的离心率为_解析：在 Rt ABF 中，| AB| ，| BF| a，| AF| a c，a2 b2由| AB|2| BF|2| AF|2，得 a2 b2 a2( a c)2.将 b2 a2 c2代入，得 a2 ac c20，即 e2 e10，解得 e . 1526因为 e0，所以 e .5 12答案：5 127已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求实数 m 的值及椭圆的长轴长和32短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为 1
11、，由 m 0，可知 m ，x2m y2mm 3 mm 3 m m 2m 3 mm 3所以 a2 m， b2 ， c ，mm 3 a2 b2 m m 2m 3由 e ，得 ，解得 m1.32 m 2m 3 32于是椭圆的标准方程为 x2 1，则 a1， b ， c .y214 12 32所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 ， ；四个顶点(32， 0) (32， 0)坐标分别为(1，0)，(1,0)， ， .(0， 12) (0， 12)8设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 x2a2 y2b2E 于 A， B 两点，| AF1
12、|3| F1B|.(1)若| AB|4， ABF2 的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭圆 E 的离心率35解：(1)由| AF1|3| F1B|，| AB|4，得| AF1|3，| F1B|1.因为 ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，| AF1| AF2|2 a8.故| AF2|835.(2)设| F1B| k，则 k0 且| AF1|3 k，| AB|4 k.由椭圆定义可得，| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.在 ABF2中，由余弦定理可得，| AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，7即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k.于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k.因此| BF2|2| F2A|2| AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e .22 ca 22
