1、1三 直线的参数方程1直线的参数方程(1)过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数为Error!( t 为参数)(2)由 为直线的倾斜角知 0，)时，sin 0.2直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M0的距离 (1)当 M0M 与 e(直线的单位方向向量)同向时， t 取正数(2)当 M0M 与 e 反向时， t 取负数(3)当 M 与 M0重合时， t .0直线的参数方程例 1 已知直线 l：Error!( t 为参数)(1)分别求 t0,2，2 时对应的点 M(x， y)；(2)求直线 l 的倾斜角；(3)求直线 l
2、上的点 M(3 ，0)对应的参数 t，并说明 t 的几何意义3思路点拨 (1)直接代入 t 的值求解；(2)把直线的参数方程化为普通方程求倾斜角或把直线的参数方程化为标准形式求倾斜角；(3)利用参数 t 的几何意义，即 M0M te 求解解 (1)由直线 l：Error!( t 为参数)知，当 t0,2，2 时，分别对应直线 l 上的点( ，2)，(0,3)，(2 ，1)3 3(2)法一：把直线 l：Error!( t 为参数)化为普通方程为 y2 (x )，设直线 l 的33 3倾斜角为 ，则 ktan (0 0，所以设这个二次方程的两个实根为 t1， t2.则 t1 t2 ， t1t2 ，
3、158 254因为 M 为 AB 的中点，根据 t 的几何意义，所以| PM| .|t1 t22 | 1516(2)因为中点 M 所对应的参数为 tM ，将此值代入直线 l 的参数方程，得点 M 坐1516标为Error!即 M ，(4116， 34)|AB| t2 t1| .(t1 t2)2 4t1t25738求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数 t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷3直线 l 通过 P0(4,0)，倾斜角 ， l 与圆 x2 y27 相交于 A， B 两点 6(1)求弦长| AB|；(2)求 A， B 两点坐标解：(
4、1)直线 l 通过 P0(4,0)，倾斜角 ， 6直线 l 的参数方程为Error!代入圆方程，得 2 27.( 432t) (12t)整理得 t24 t90.3设 A， B 对应的参数分别 t1和 t2，4由根与系数的关系得 t1 t24 ， t1t29，3| AB| t2 t1| 2 .(t1 t2)2 4t1t2 3(2)解得 t13 ， t2 ，代入直线参数方程3 3Error!得 A 点坐标 ， B 点坐标 .(12， 332) ( 52， 32)4在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l
5、 的极坐标方程为 sin .( 4) 2(1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；(2)设点 P(0,2)， l 和 C 交于 A， B 两点，求| PA| PB|.解：(1)由Error!消去参数 ，得 y21，x29即 C 的普通方程为 y21.x29由 sin 得 sin cos 2，(*)( 4) 2将Error! 代入(*)，化简得 y x2.所以直线 l 的倾斜角为 . 4(2)易知点 P(0,2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，即Error!(t 为参数 )，代入 y21 并化简，得 5t218 t270，x29 2 (18 )245271
6、080，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 0，1825 275所以 t10， t20，所以| PA| PB| t1| t2|( t1 t2) .1825一、选择题1直线Error!( t 为参数)的倾斜角为( )A70 B10C160 D140解析：选 B 将直线的参数方程化为Error!( t 为参数)，故其倾斜角为 10，故选 B.52直线Error!( t 为参数)的斜率为( )A B33 32C. D.33 12解析：选 A 直线的参数方程Error!( t 为参数)化为普通方程为 y1 (x3)，则33直线的斜率 k .333若直线Error!( t
7、 为参数)与圆Error!( 为参数)相切，那么直线倾斜角 为( )A. B. 6 4C. D. 或 3 6 56解析：选 D 直线可化为 tan ，即 ytan x，yx圆方程可化为( x4) 2 y24，由 2tan 2 ，|4tan |tan2 1 13tan ，又 0，)， 或 .33 6 564下列可以作为直线 2x y10 的参数方程的是( )A.Error!(t 为参数) B.Error!( t 为参数)C.Error!(t 为参数) D.Error!(t 为参数)解析：选 C 直线 2x y10 经过点(1,3)，斜率 k2，可得直线的参数方程是Error!(t 为参数 )直线
8、还经过点(2,5)，相应的参数方程为Error!( t 为参数)二、填空题5已知直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)，则它的普通方程是_解析：由直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)，消去参数 t 整理得 3x4 y50.答案：3 x4 y506直线Error!上与点 A(2,3)的距离等于 的点的坐标是 _2解析：设 P(2 t,3 t)是直线上满足条件的点，则( t)2( t)2( )2 2 2 2 22， t2 ， t ，则 P( 3,4)或(1,2)12 22答案：(3,4)或(1,2)67设直线的参数方程为Error!点 P 在直线上，且与点 M0(4,0)
9、的距离为 ，若该直2线的参数方程改写成Error!( t 为参数)，则在这个方程中点 P 对应的 t 值为_解析：由| PM0| 知， t ，代入第一个参数方程，得点 P 的坐标分别为(3,1)2 2或(5，1)，再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得 t1 或 t1.答案：1三、解答题8设直线的参数方程为Error!( t 为参数)(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式解：(1)把 t 代入 y104 t，x 53得 y10 ，4(x 5)3化简得 4x3 y500，所以直线的普通方程为 4x3 y500.(2)把参数方程变形为Error!令 t5 t，即
10、有Error!( t为参数)为参数方程的标准形式9极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos .(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求弦长| AB|.解：(1)由 sin2 8cos ，得 2sin2 8 cos ，故曲线 C 的直角坐标方程为 y28 x.(2)将直线 l 的参数方程化为标准形式为Error!(t为参数)，代入 y28 x，并整理得 3t 216 t640，则 t1 t
11、2 ， t1 t2 ，163 643所以| AB| t1 t2| .(t1 t2 )2 4t1 t232310经过 P(2,3)作直线交抛物线 y28 x 于 A， B 两点(1)若线段 AB 被 P 平分，求 AB 所在直线方程；(2)当直线的倾斜角为 时，求| AB|. 4解：设 AB 的参数方程是Error!( t 为参数)7代入抛物线方程，整理得t2sin2 (6sin 8cos )t70.于是 t1 t2 ， t1t2 .6sin 8cos sin2 7sin2(1)若 P 为 AB 的中点，则 t1 t20.即 6sin 8cos 0tan .43故 AB 所在的直线方程为 y3 (x2)43即 4x3 y10.(2)|AB| t1 t2| (t1 t2)2 4t1t2 (6sin 8cos sin2 )2 4( 7sin2 ) .2sin2 16 12sin 2又 ， 4| AB| 2sin2 4 16 12sin(2 4)8 .7
