1、13参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致 把曲线的普通方程化为参数方程例 1 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程(1) 1, x cos 1,( 为参数);(x 1)23 (y 2)25 3(2)x2 y x10, x t1,( t 为参数)解 (1)将 x cos 1 代入 1,得 y2 sin .3(x 1)23 (y 2)25 5Error! ( 为
2、参数)这就是所求的参数方程(2)将 x t1 代入 x2 y x10,得 y x2 x1( t1) 2 t11 t23 t1,Error! (t 为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价(2)参数的选取不同,得到的参数方程是不同的如本例(2),若令 xtan ( 为参数),则参数方程为Error!( 为参数)21.如图,以过原点的直线的倾斜角 为参数,则圆 x2 y2 x0 的参数方程为_解析:由题意得圆的方程为 2 y2 ,圆心 在 x 轴上,半径为 ,(x12) 14 (12, 0) 12则该圆
3、的参数方程为Error!( 为参数),注意 为圆心角, 为圆弧所对的圆周角,则有 2 ,故Error!即Error!( 为参数)答案:Error! ( 为参数)将参数方程化为普通方程例 2 将下列参数方程化为普通方程:(1)Error!(t 为参数);(2)Error!( 为参数)思路点拨 (1)可采用代入法,由 x1 解出 ,代入 y 的表达式;t t(2)采用三角恒等变换求解解 (1)由 x1 得 1 x,将其代入 y12 得 y32 x.因为 0,t t t t所以 x1 1,t所以参数方程化为普通方程为 y32 x(x1)方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)(2)由Er
4、ror! 得Error! , 2 2得 1(5 x5,5 y3)x225 (y 1)216将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数;(2)利用三角恒等式消去参数;(3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数 f(t)和 g(t)的值域,即 x 和 y 的取值范围2参数方程Error!( t 为参数)化为普通方程为( )A x2 y213B x2 y21 去掉(0,1)点C x2 y21 去掉(1,0)点D x2 y2
5、1 去掉(1,0)点解析:选 D 结合题意,x2 y2 2 2 1, x 1 1,故选 D.(1 t21 t2) ( 2t1 t2) 1 t21 t2 21 t23已知曲线的参数方程为Error!( 为参数),则曲线的普通方程为( )A y21 x B y21 xC y21 x( y ) D以上都不对2 2解析:选 C 因为 ycos sin cos ,所以 y , ,由2 ( 4) 2 2y212sin cos 1sin 2 ,得 y21 x, y , ,故选 C.2 2一、选择题1将参数方程Error!( 为参数)化为普通方程为( )A y x2 B y x2C y x2(2 x3) D
6、y x2(0 y1)解析:选 C 方程可化为 y x2, x2,3, y0,1,故选 C.2参数方程Error!( 为参数)表示的曲线是( )A直线 B圆C线段 D射线解析:选 C xcos 2 0,1, ysin 2 0,1, x y1( x0,1)为线段3曲线Error!( 为参数)的对称中心( )A在直线 y2 x 上B在直线 y2 x 上C在直线 y x1 上D在直线 y x1 上解析:选 B 将Error!( 为参数)化为普通方程为( x1) 2( y2) 21,其表示以(1,2)为圆心,1 为半径的圆,其对称中心即圆心,显然(1,2)在直线 y2 x 上,故选 B.4已知曲线 C:
7、Error!( t 为参数), A(1,0), B(1,0),若曲线 C 上存在点 P 满足AP BP 0,则实数 a 的取值范围为( )4A. B1,122, 22C , D2,22 2解析:选 C 设 P(x, y), A(1,0), B(1,0),点 P 满足 AP BP 0, P 的轨迹方程是 x2 y21,表示圆心为(0,0),半径为 1 的圆曲线 C:Error!( t 为参数)化成普通方程为 x y a0,由题意知,圆心(0,0)到直线 x y a0 的距离 d1, a .|a|2 2 2二、填空题5 x2 y22 x4 y10 化为参数方程为_解析: x2 y22 x4 y10
8、 化成标准方程是( x1) 2( y2) 24,表示圆心为(1,2),半径为 2 的圆,故参数方程为Error!( 为参数)答案:Error! ( 为参数)6直线Error!( t 为参数)与曲线Error!( 为参数)的交点个数为_解析:Error! (t 为参数)化为普通方程为 x y1,Error!( 为参数)化为普通方程为x2 y29,表示以(0,0)为圆心,3 为半径的圆圆心(0,0)到直线的距离为 ,小于12 22半径 3,所以直线与圆相交因此,交点的个数为 2.答案:27已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参
9、数方程为_解析:曲线 C 的直角坐标方程是( x1) 2 y21,其参数方程为Error!( 为参数)答案:Error! ( 为参数)三、解答题8把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线(1)Error!(t 为参数, t0);(2)Error!( t2)解:(1)Error!由得 t y1,又 t0,所以 y1.所以 x4( y1) 2(y1),即(y1) 2 x(y1)14方程表示的是顶点为(0,1),对称轴平行于 x 轴,开口向左的抛物线的一部分(2)由Error! 得 1.x24 y295 t2,2 x2,3 y0.所求方程为 1(3 y0),x24 y29它表示半个椭圆
10、.(椭 圆x24 y29 1在 x轴 下 方 的 部 分 )9如图所示,经过圆 x2 y24 上任一点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,求线段 PQ 中点轨迹的普通方程解:圆 x2 y24 的参数方程为Error!( 为参数)在此圆上任取一点 P(2cos ,2sin ),则 PQ 的中点为 M(2cos ,sin ),所以 PQ 中点轨迹的参数方程为Error!( 为参数),化成普通方程 y21.x2410已知曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数),曲线 C2的极坐标方程为 2cos 6sin .(1)将曲线 C1的参数方程化为普通方程,将曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(
11、2)曲线 C1, C2是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由解:(1)由Error!( 为参数)得( x2) 2 y210,曲线 C1的普通方程为( x2)2 y210. 2cos 6sin , 22 cos 6 sin , x2 y22 x6 y,即( x1) 2( y3) 210.曲线 C2的直角坐标方程为( x1) 2( y3) 210.(2)圆 C1的圆心为(2,0),圆 C2的圆心为(1,3),| C1C2| 3 2 ,( 2 1)2 (0 3)2 2 10两圆相交设相交弦长为 d,两圆半径相等,公共弦平分线段C1C2, 2 2( )2,解得 d ,公共弦长为 .(d2) (3 22) 10 22 226