1、12圆的参数方程圆的参数方程(1)在 t时刻,圆周上某点 M转过的角度是 ,点 M的坐标是( x, y),那么 t ( 为角速度)设| OM| r,那么由三角函数定义,有 cos t ,sin t ,xr yr即圆心在原点 O,半径为 r的圆的参数方程为Error!( t为参数)其中参数 t的物理意义是:质点做匀速圆周运动的时刻 (2)若取 为参数,因为 t ,于是圆心在原点 O,半径为 r的圆的参数方程为Error!( 为参数 )其中参数 的几何意义是: OM0(M0为 t0 时的位置)绕点 O逆时针旋转到 OM的位置时, OM0转过的角度(3)若圆心在点 M0(x0, y0),半径为 R,
2、则圆的参数方程为Error!(0 2)求圆的参数方程例 1 根据下列要求,分别写出圆心在原点,半径为 r的圆的参数方程(1)在 y轴左侧的半圆(不包括 y轴上的点);(2)在第四象限的圆弧解 (1)由题意,圆心在原点,半径为 r的圆的参数方程为Error!( 0,2),在 y轴左侧半圆上点的横坐标小于零,即 x rcos 0,所以有 ,故其参数方2 32程为Error! .( (2, 32)(2)由题意,得Error!解得 2.故在第四象限的圆弧的参数方程为Error!32.( (32, 2 )(1)确定圆的参数方程,必须仔细阅读题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题易忽视 的范围而致误(2
3、)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程21已知圆的方程为 x2 y22 x,写出它的参数方程解: x2 y22 x的标准方程为( x1) 2 y21,设 x1cos , ysin ,则参数方程为Error!(0 2)2已知点 P(2,0),点 Q是圆Error!上一动点,求 PQ中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解:设中点 M(x, y)则Error!即Error!( 为参数)这就是所求的轨迹方程它是以(1,0)为圆心, 为半径的圆.12圆的参数方程的应用例 2 若 x, y满足( x1) 2( y2) 24,求 2x y的最值思路点拨 ( x1) 2( y2) 24 表示圆,可考虑利用圆
4、的参数方程将求 2x y的最值转化为求三角函数最值问题解 令 x12cos , y22sin ,则有 x2cos 1, y2sin 2,故 2x y4cos 22sin 24cos 2sin 2 sin( ),52 2 x y2 ,5 5即 2x y的最大值为 2 ,最小值为2 .5 5圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题3已知圆 C Error!与直线 x y a0 有公共点,求实数 a的取值范围解:将圆 C的方程代入直线方程,得cos 1sin a0,即 a1(sin cos )1 sin .2 ( 4)
5、1sin 1,1 a1 .( 4) 2 2故实数 a的取值范围为1 ,1 2 23一、选择题1已知圆的参数方程为Error!( 为参数),则圆的圆心坐标为( )A(0,2) B(0,2)C(2,0) D(2,0)解析:选 D 将Error!化为( x2) 2 y24,其圆心坐标为(2,0)2已知圆的参数方程为Error!( 为参数),则圆心到直线 y x3 的距离为( )A1 B. 2C2 D2 2解析:选 B 圆的参数方程Error!( 为参数)化成普通方程为( x1) 2 y22,圆心(1,0)到直线 y x3 的距离 d ,故选 B.| 1 3|2 23若直线 y ax b经过第二、三、
6、四象限,则圆Error!( 为参数)的圆心在( )A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限解析:选 B 根据题意,若直线 y ax b经过第二、三、四象限,则有 a0, b0.圆的参数方程为Error!( 为参数),圆心坐标为( a, b),又由 a0, b0,得该圆的圆心在第三象限,故选 B.4 P(x, y)是曲线Error!( 为参数)上任意一点,则( x5) 2( y4) 2的最大值为( )A36 B6C26 D25解析:选 A 设 P(2cos ,sin ),代入得,(2cos 5) 2(sin 4) 225sin 2 cos 2 6cos 8sin 2610sin( ) ,所以
7、其最大值为 36.(其 中 tan 34)二、填空题5 x1 与圆 x2 y24 的交点坐标是_解析:圆 x2 y24 的参数方程为Error!( 为参数)令 2cos 1,得 cos ,sin .12 32交点坐标为(1, )和(1, )3 3答案:(1, ),(1, )3 36曲线Error!( 为参数)与直线 x y10 相交于 A, B两点,则| AB|_.解析:根据题意,曲线Error!( 为参数)的普通方程为 x2( y1) 21,表示圆心坐标为(0,1),半径 r1 的圆,4而直线的方程为 x y10,易知圆心在直线上,则 AB为圆的直径,故| AB|2 r2.答案:27在平面直
8、角坐标系中,以坐标原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l的极坐标方程为 sin 1,圆 C的参数方程为Error!( 为参数),( 6)则直线 l与圆 C相交所得的弦长为_解析:直线 l的极坐标方程为 sin 1,( 6)展开可得 sin cos 1,化为直角坐标方程为 x y20,圆 C的参32 12 3数方程Error! ( 为参数)化为普通方程为( x2) 2( y )24,3可得圆心坐标为(2, ),半径 r2.3圆心 C到直线 l的距离 d .|2 3 2|12 (r(3)2 32直线 l与圆 C相交所得弦长2 2 .r2 d24 (32)2 7答案: 7三、解
9、答题8将参数方程Error!( t为参数,0 t)化为普通方程,并说明方程表示的曲线解:因为 0 t,所以3 x5,2 y2.因为Error!所以( x1) 2( y2)216cos 2t16sin 2t16,所以曲线的普通方程为( x1) 2( y2)216(3 x5,2 y2)它表示的曲线是以点(1,2)为圆心,4 为半径的上半圆9在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为 2cos , .0,2(1)求 C的参数方程;(2)设点 D在 C上, C在 D处的切线与直线 l: y x2 垂直,根据(1)中你得到的参3数方程,确定 D的坐标解
10、:(1) C的普通方程为( x1) 2 y21(0 y1)可得 C的参数方程为Error!( t为参数,0 t)(2)设 D(1cos t,sin t)由(1)知 C是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆因为C在点 D处的切线与 l垂直,所以直线 GD与 l的斜率相同,tan t , t .335故 D的直角坐标为 ,即 .(1 cos3, sin3) (32, 32)10在极坐标系中,已知三点 O(0,0), A , B .(2,2) (22, 4)(1)求经过点 O, A, B的圆 C1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2的参数方程为
11、Error! ( 是参数),若圆 C1与圆 C2外切,求实数 a的值解:(1) O(0,0), A , B 对应的直角坐标分别为 O(0,0), A(0,2),(2,2) (22, 4)B(2,2),则过点 O, A, B的圆的普通方程为 x2 y22 x2 y0,将Error!代入可求得经过点 O, A, B的圆 C1的极坐标方程为 2 cos .2 ( 4)(2)圆 C2:Error!( 是参数)对应的普通方程为( x1) 2( y1) 2 a2,圆心为(1,1),半径为| a|,由(1)知圆 C1的圆心为(1,1),半径为 ,2所以当圆 C1与圆 C2外切时,有 | a| ,解得 a .2 ( 1 1)2 ( 1 1)2 2