1、12圆的参数方程圆的参数方程(1)在 t时刻，圆周上某点 M转过的角度是 ，点 M的坐标是( x， y)，那么 t ( 为角速度)设| OM| r，那么由三角函数定义，有 cos t ，sin t ，xr yr即圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方程为Error!( t为参数)其中参数 t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 (2)若取 为参数，因为 t ，于是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方程为Error!( 为参数 )其中参数 的几何意义是： OM0(M0为 t0 时的位置)绕点 O逆时针旋转到 OM的位置时， OM0转过的角度(3)若圆心在点 M0(x0， y0)，半径为 R，
2、则圆的参数方程为Error!(0 2)求圆的参数方程例 1 根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为 r的圆的参数方程(1)在 y轴左侧的半圆(不包括 y轴上的点)；(2)在第四象限的圆弧解 (1)由题意，圆心在原点，半径为 r的圆的参数方程为Error!( 0,2)，在 y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即 x rcos 0，所以有 ，故其参数方2 32程为Error! .( (2， 32)(2)由题意，得Error!解得 2.故在第四象限的圆弧的参数方程为Error!32.( (32， 2 )(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视 的范围而致误(2
3、)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程21已知圆的方程为 x2 y22 x，写出它的参数方程解： x2 y22 x的标准方程为( x1) 2 y21，设 x1cos ， ysin ，则参数方程为Error!(0 2)2已知点 P(2,0)，点 Q是圆Error!上一动点，求 PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：设中点 M(x， y)则Error!即Error!( 为参数)这就是所求的轨迹方程它是以(1,0)为圆心， 为半径的圆.12圆的参数方程的应用例 2 若 x， y满足( x1) 2( y2) 24，求 2x y的最值思路点拨 ( x1) 2( y2) 24 表示圆，可考虑利用圆
4、的参数方程将求 2x y的最值转化为求三角函数最值问题解 令 x12cos ， y22sin ，则有 x2cos 1， y2sin 2，故 2x y4cos 22sin 24cos 2sin 2 sin( )，52 2 x y2 ，5 5即 2x y的最大值为 2 ，最小值为2 .5 5圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题3已知圆 C Error!与直线 x y a0 有公共点，求实数 a的取值范围解：将圆 C的方程代入直线方程，得cos 1sin a0，即 a1(sin cos )1 sin .2 ( 4)
5、1sin 1，1 a1 .( 4) 2 2故实数 a的取值范围为1 ，1 2 23一、选择题1已知圆的参数方程为Error!( 为参数)，则圆的圆心坐标为( )A(0,2) B(0，2)C(2,0) D(2,0)解析：选 D 将Error!化为( x2) 2 y24，其圆心坐标为(2,0)2已知圆的参数方程为Error!( 为参数)，则圆心到直线 y x3 的距离为( )A1 B. 2C2 D2 2解析：选 B 圆的参数方程Error!( 为参数)化成普通方程为( x1) 2 y22，圆心(1,0)到直线 y x3 的距离 d ，故选 B.| 1 3|2 23若直线 y ax b经过第二、三、
6、四象限，则圆Error!( 为参数)的圆心在( )A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限解析：选 B 根据题意，若直线 y ax b经过第二、三、四象限，则有 a0， b0.圆的参数方程为Error!( 为参数)，圆心坐标为( a， b)，又由 a0， b0，得该圆的圆心在第三象限，故选 B.4 P(x， y)是曲线Error!( 为参数)上任意一点，则( x5) 2( y4) 2的最大值为( )A36 B6C26 D25解析：选 A 设 P(2cos ，sin )，代入得，(2cos 5) 2(sin 4) 225sin 2 cos 2 6cos 8sin 2610sin( ) ，所以
7、其最大值为 36.(其 中 tan 34)二、填空题5 x1 与圆 x2 y24 的交点坐标是_解析：圆 x2 y24 的参数方程为Error!( 为参数)令 2cos 1，得 cos ，sin .12 32交点坐标为(1， )和(1， )3 3答案：(1， )，(1， )3 36曲线Error!( 为参数)与直线 x y10 相交于 A， B两点，则| AB|_.解析：根据题意，曲线Error!( 为参数)的普通方程为 x2( y1) 21，表示圆心坐标为(0,1)，半径 r1 的圆，4而直线的方程为 x y10，易知圆心在直线上，则 AB为圆的直径，故| AB|2 r2.答案：27在平面直
8、角坐标系中，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l的极坐标方程为 sin 1，圆 C的参数方程为Error!( 为参数)，( 6)则直线 l与圆 C相交所得的弦长为_解析：直线 l的极坐标方程为 sin 1，( 6)展开可得 sin cos 1，化为直角坐标方程为 x y20，圆 C的参32 12 3数方程Error! ( 为参数)化为普通方程为( x2) 2( y )24，3可得圆心坐标为(2， )，半径 r2.3圆心 C到直线 l的距离 d .|2 3 2|12 (r(3)2 32直线 l与圆 C相交所得弦长2 2 .r2 d24 (32)2 7答案： 7三、解
9、答题8将参数方程Error!( t为参数，0 t)化为普通方程，并说明方程表示的曲线解：因为 0 t，所以3 x5，2 y2.因为Error!所以( x1) 2( y2)216cos 2t16sin 2t16，所以曲线的普通方程为( x1) 2( y2)216(3 x5，2 y2)它表示的曲线是以点(1，2)为圆心，4 为半径的上半圆9在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 2cos ， .0，2(1)求 C的参数方程；(2)设点 D在 C上， C在 D处的切线与直线 l： y x2 垂直，根据(1)中你得到的参3数方程，确定 D的坐标解
10、：(1) C的普通方程为( x1) 2 y21(0 y1)可得 C的参数方程为Error!( t为参数，0 t)(2)设 D(1cos t，sin t)由(1)知 C是以 G(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为C在点 D处的切线与 l垂直，所以直线 GD与 l的斜率相同，tan t ， t .335故 D的直角坐标为 ，即 .(1 cos3， sin3) (32， 32)10在极坐标系中，已知三点 O(0,0)， A ， B .(2，2) (22， 4)(1)求经过点 O， A， B的圆 C1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2的参数方程为
11、Error! ( 是参数)，若圆 C1与圆 C2外切，求实数 a的值解：(1) O(0,0)， A ， B 对应的直角坐标分别为 O(0,0)， A(0,2)，(2，2) (22， 4)B(2,2)，则过点 O， A， B的圆的普通方程为 x2 y22 x2 y0，将Error!代入可求得经过点 O， A， B的圆 C1的极坐标方程为 2 cos .2 ( 4)(2)圆 C2：Error!( 是参数)对应的普通方程为( x1) 2( y1) 2 a2，圆心为(1，1)，半径为| a|，由(1)知圆 C1的圆心为(1,1)，半径为 ，2所以当圆 C1与圆 C2外切时，有 | a| ，解得 a .2 ( 1 1)2 ( 1 1)2 2
