1、123.1 抛物线及其标准方程预习课本 P5659，思考并完成以下问题 1平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？新 知 初 探 1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22 px(p0)(p2， 0) x p2y22 px(p0)( p2， 0) x p2x22 py(p0) (0，p2)yp22x22 py(p0)(0， p2) y p2小 试 身 手
2、 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )(2)抛物线 y220 x 的焦点坐标是(0,5)( )答案：(1) (2)2抛物线 x2 y2的准线方程是( )A y B y12 18C x D x14 18答案：D3若抛物线 y28 x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为( )A(8,8) B(8，8)C(8，8) D(8，8)答案：C4已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到直线 l： x2 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为_答案： y28 x抛物线的标准方程典例 求适合下列条件的抛物线
3、的标准方程：(1)过点 M(6,6)；(2)焦点 F 在直线 l：3 x2 y60 上解 (1)由于点 M(6,6)在第二象限，过 M 的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22 px(p0)，将点 M(6,6)代入，可得 362 p(6)， p3.抛物线的方程为 y26 x.若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，3设其方程为 x22 py(p0)，将点 M(6,6)代入可得，362 p6， p3，抛物线的方程为 x26 y.综上所述，抛物线的标准方程为 y26 x 或 x26 y.(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是 F(2,0)，
4、 2， p4，p2抛物线的标准方程是 y28 x.直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)， 3， p6，p2抛物线的标准方程是 x212 y.综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28 x 或 x212 y.求抛物线的标准方程的方法定义法 根据定义求 p，最后写标准方程待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2 ax 或x2 ay(a0)的形式，以简化讨论过程活学活用1若抛物线 y22 px 的焦点坐标为(1,0)，则 p
5、_，准线方程为_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以 1， p2，准线方程为 x 1.p2 p2答案：2 x12抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，| AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y22 ax(a0)，点 A(m，3)由抛物线的定义得| AF| 5，|ma2|又(3) 22 am， a1 或 a9.所求抛物线的标准方程为 y22 x 或 y218 x.4抛物线定义的应用典例 (1)已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，| AF| x0，则54x0( )A1 B2C4 D8
6、(2)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 .求点 M 的轨迹方(12， 0) 12程解析 (1)由题意知抛物线的准线为 x .因为| AF| x0，根据抛物线的定义可14 54得 x0 | AF| x0，解得 x01，故选 A.14 54答案 A(2)解：由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ，(12， 0) 12所以动点 M 到 F 的距离与它到直线 l： x 的距离相等(12， 0) 12由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为 y22 px(p0)的形式，而 ，所以 p
7、1,2 p2，p2 12故点 M 的轨迹方程为 y22 x(x0)一题多变1变结论若本例(2)中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2，求点 N 的坐标解：设点 N 的坐标为( x0， y0)，则| NF|2.又点 M 的轨迹方程为 y22 x(x0)，所以由抛物线的定义得 x0 2，解得 x0 .因为 y 2 x0，所以 y0 ，故点 N 的坐标为12 32 20 3或 .(32， 3) (32， 3)2变结论若本例(2)中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| MF|的最小值，并求出点 M 的坐标解：如图，由于点 M 在抛物线上，所以| MF|等于点 M 到其准线 l
8、的距离| MN|，于是| MA| MF| MA| MN| AN|3 .当12 725A， M， N 三点共线时，| MA| MN|取最小值，亦即| MA| MF|取最小值 ，这时 M 的纵坐标72为 2.可设 M(x0,2)，代入抛物线方程得 x02，即 M(2,2)抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的实际应用典例 某大桥在涨
9、水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，所以 A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是 x22 py(p0)，则 102
10、2 p(2)，所以 p25，所以抛物线方程为 x250 y，即 y x2.150若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x8 时，y 821.28，150即船体在 x8 之间通过， B(8，1.28)，此时 B 点距水面 6(1.28)4.72(米)而船体高为 5 米，所以无法通行又因为 54.720.28(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔6求抛物线实际应用的五个步骤活学活用如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位
11、下降 1米后，水面宽_米解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22 py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22 y.当 y3 时， x26，所以水面宽为 2 米6答案：2 6层级一 学业水平达标1抛物线 y12 x2上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C. D.148 124解析：选 C 将方程化为标准形式是 x2 y，因为 2p ，所以 p .故到焦点的112 112 124距离最小值为 .1482已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切，则 p 的值为( )A. B112C2 D4解析：选 C 抛物线 y22 px
12、的准线 x 与圆( x3) 2 y216 相切，p27 1，即 p2.p23若抛物线 y22 px(p0)上横坐标是 2 的点 M 到抛物线焦点的距离是 3，则 p( )A1 B2C4 D8解析：选 B 抛物线的准线方程为 x ，点 M 到焦点的距离为p23，2 3， p2.p24过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点，若|AF|3，则 AOB 的面积为( )A. B.22 2C. D2322 2解析：选 C 焦点 F(1,0)，设 A， B 分别在第一、四象限，则由点 A 到准线 l： x1的距离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵坐标为 2 ，直
13、线 AB 的方程为 y2 (x1)，与抛物2 2线方程联立可得 2x25 x20，所以点 B 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以 S12 2AOB 1(2 ) .12 2 2 3225已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的x2a2 y2b2焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析：选 D 双曲线的渐近线方程为 y x，ba由于 2，所以 ，ca a2 b2a2 1 (ba)2 ba 3所以双曲线的渐近线方程为 y x.抛物线的焦点坐标为
14、 ，所以 2，所以3 (0，p2) p22p8，所以抛物线方程为 x216 y.6已知抛物线 C：4 x ay20 恰好经过圆 M：( x1) 2( y2) 21 的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为_，准线方程为_解析：圆 M 的圆心为(1,2)，代入 4x ay20 得 a1，将抛物线 C 的方程化为标准8方程得 y24 x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x1.答案：(1,0) x17已知抛物线 y22 px(p0)上一点 M(1， m)到其焦点的距离为 5，双曲线 x2 1y2a的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a_.解析：根据抛物线的定义得 1 5， p
15、8.不妨取 M(1,4)，则 AM 的斜率为 2，由已p2知得 21，故 a .a14答案：148对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为 y210 x 的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线 y210 x 的焦点在 x 轴上，满足，不满足；设 M(1， y0)是 y210 x上一点，则| MF|1 1 6，所以不满足；由于抛物线 y210 x 的焦点为 ，p2 52 72 (52， 0)过该焦点的直线方程为 y k ，若由原点向该直线作垂线，
16、垂足为(2,1)时，则(x52)k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为 x22 py(p0)，则焦点 F ，准线 l： y ，作 MN l，垂足为 N，(0， p2) p2则| MN| MF|5，而| MN|3 ，3 5，p2 p2即 p4.所以抛物线方程为 x28 y，准线方程为 y2.由 m28(3)24，得 m2 .6法二：设所求抛物线方程为 x22 py(p0)，则焦点为 F . M(m，3)在抛物(0， p2)线上，且| MF|5，故
17、Error! 解得Error!抛物线方程为 x28 y， m2 ，准线方程为 y2.610.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的9三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米(1)以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为 x22 py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为 x25 y.(
18、2)设车辆高为 h，则| DB| h0.5，故 D(3.5， h6.5)，代入方程 x25 y，解得 h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米层级二 应试能力达标1设抛物线 y28 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6C8 D12解析：选 B 由抛物线的方程得 2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为p2 42426.2抛物线 y24 x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 FPM 为等边三角形时，其面积为( )A2 B43C6 D4 3解析：选 D 如图， FPM 是等边三角形由抛物线的定义知 P
19、M l.在 Rt MQF 中，| QF|2， QMF30，| MF|4， S PMF 424 .故选 D.34 33设圆 C 与圆 x2( y3) 21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心的轨迹为( )A抛物线 B双曲线10C椭圆 D圆解析：选 A 法一：设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切，得圆心 C 到点(0,3)的距离为 r1，也就是说，圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C 的轨迹为抛物线法二：设圆 C 的圆心坐标为( x， y)，半径
20、为 r，点 A(0,3)，由题意得|CA| r1 y1， y1，化简得 y x21，圆心的轨迹是抛物x2 y 3 218线4经过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，如果 A， B 在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1， B1，那么 A1FB1为( )A. B. 6 4C. D. 2 23解析：选 C 由抛物线的定义可知| BF| BB1|，| AF| AA1|，故 BFB1 BB1F， AFA1 AA1F.又 OFB1 BB1F， OFA1 AA1F，故 BFB1 OFB1， AFA1 OFA1，所以 OFA1 OFB1 ，即 A1FB1 .12 2 25
21、设 F 为抛物线 y24 x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点，若 0，则| | | |_.FA FB FC FA FB FC 解析：因为 0，所以点 F 为 ABC 的重心，则 A， B， C 三点的横坐FA FB FC 标之和为点 F 的横坐标的三倍，即 xA xB xC3，所以| | | | xA1 xB1 xC16.FA FB FC 答案：66已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y23 a2(a0)的左、右焦点， P 是抛物线 y28 ax 与双曲线的一个交点，若| PF1| PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程，得 1，x2a2 y23a2
22、其焦点坐标为(2 a,0)，(2 a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程Error! x3 a，而由Error! |PF2|6 a，| PF2|3 a2 a6 a，得 a1，抛物线的方程为 y28 x，其准线方程为 x2.11答案： x27.如图，已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，点 A 到抛物线准线的距离等于 5，过点 A作 AB 垂直于 y 轴，垂足为点 B， OB 的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)过点 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标解：(1)抛物线 y22 px 的准线方程为 x ，
23、p2于是 4 5， p2，所以抛物线的方程为 y24 x.p2(2)由题意得 A(4,4)， B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)，所以 kAF ，则直线 FA 的方程为 y (x1)43 43因为 MN FA，所以 kMN ，34则直线 MN 的方程为 y x2.34解方程组Error!得Error!所以 N .(85， 45)8设 P 是抛物线 y24 x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)若点 P 到直线 x1 的距离为 d， A(1,1)，求| PA| d 的最小值；(2)若 B(3,2)，求| PB| PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线的定义，知| PF| d，于是问题转化为求| PA| PF|的最小值如图，连接 AF，交抛物线于点 P，则最小值为 .22 12 5(2)把点 B 的横坐标代入 y24 x 中，得 y ，12因为 2，所以点 B 在抛物线内部12自点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图)由抛物线的定义，知| P1Q| P1F|， 则| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|314.即| PB| PF|的最小值为 4.12
