1、1第 8 章 平面解析几何 第 8 讲A 组 基础关1已知点 F(0,1)，直线 l： y1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )QP QF FP FQ A x24 y B y23 xC x22 y D y24 x答案 A解析 设点 P(x， y)，则 Q(x，1) ，QP QF FP FQ (0， y1)( x,2)( x， y1)( x，2)，即 2(y1) x22( y1)，整理得 x24 y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24 y.2(2018安顺三模)曲线 C： x22 xy40 的对称性为( )A关于原点成
2、中心对称B关于点(2,0)成中心对称C关于直线 y x 对称D曲线 C 不具有对称性答案 A解析 设点 P(a， b)(a， bR)在曲线上，则 a22 ab40，即( a)22( a)( b)40，则 P 点关于原点的对称点 P( a， b)也在曲线上，曲线关于原点对称3.(2018安徽六安一中月考)如图，已知 F1， F2是椭圆 ： 1( ab0)的左、x2a2 y2b2右焦点， P 是椭圆 上任意一点，过 F2作 F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹为( )A直线 B圆C椭圆 D双曲线答案 B解析 延长 F2Q，与 F1P 的延长线交于点 M，连接 OQ.因为
3、PQ 是 F1PF2的外角的角平分线，且 PQ F2M，所以在 PF2M 中，| PF2| PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点又 O 为线段2F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得| OQ| |F1M| (|PF1| PF2|)根据椭圆的定12 12义，得| PF1| PF2|2 a，所以| OQ| a，所以点 Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆，故选 B.4已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_答案 4解析 设点 P 的坐标为( x， y)则由| PA|2| PB|得( x2) 2 y24( x
4、1) 2 y2，即(x2) 2 y24，所以点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，所以点 P 的轨迹所包围的图形的面积为 4.5已知 ABC 的顶点 A， B 的坐标分别为(4,0)，(4,0)， C 为动点，且满足sinBsin A sinC，则 C 点的轨迹方程为_54答案 1( x5)x225 y29解析 由 sinBsin A sinC 利用正弦定理可知| AC| BC| |AB|10| AB|，所以54 54点 C 的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 10 的椭圆(不含左、右顶点)，其轨迹方程为 x2251( x5)y296.如图， P 是椭圆 1( ab0)上的任
5、意一点， F1， F2是它的两个焦点， O 为坐标x2a2 y2b2原点，且 ，则动点 Q 的轨迹方程是_OQ PF1 PF2 3答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，又 2 2 .OQ PF1 PF2 PF1 PF2 PO OP 设 Q(x， y)，则 ，即 P 点坐标为 ，又 P 在椭圆上，则OP 12OQ ( x2， y2) ( x2， y2)有 1，即 Q 的轨迹方程为 1.( x2)2a2( y2)2b2 x24a2 y24b2B 组 能力关1与圆 x2 y24 x0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是( )A y28 xB y28 x(x0)和 y0C y28 x(x
6、0)D y28 x(x0)和 y0( x0)答案 D解析 如图，设与 y 轴相切且与圆 C： x2 y24 x0 外切的圆心为 P(x， y)，半径为r，则 | x|2. x 2 2 y2若 x0，则 y28 x；若 x0，则 y0.2(2018沈阳月考)在 ABC 中， B( ，0)， C( ，0)， AB， AC 边上的中线长之和5 54为 9.则 ABC 重心 G 的轨迹方程是( )A. 1( y0) B. 1( y0)x24 y29 x29 y24C. y21( y0) D x2 1( y0)x24 y24答案 B解析 设 AB， AC 边上的中线分别为 CD， BE， BG BE，
7、CG CD，23 23 BG CG (BE CD)6(定值)23因此， G 的轨迹为以 B， C 为焦点的椭圆，且 2a6， c ，5 a3， b2，可得椭圆的方程为 1.x29 y24当 G 点在 x 轴上时， A， B， C 三点共线，不能构成 ABC. G 的纵坐标不能是 0，可得 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 1( y0)故选 B.x29 y243已知圆 C： x2 y225，过点 M(2,3)作直线 l 交圆 C 于 A， B 两点，分别过 A， B两点作圆的切线，当两条切线相交于点 Q 时，点 Q 的轨迹方程为_答案 2 x3 y250解析 圆 C： x2 y225 的圆心 C
8、 为(0,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， Q(x0， y0)，因为 AQ 与圆 C 相切，所以 AQ CA，所以( x1 x0)(x10)( y1 y0)(y10)0，即x x0x1 y y0y10，因为 x y 25，所以 x0x1 y0y125，同理 x0x2 y0y225，所21 21 21 21以过点 A， B 的直线方程为 xx0 yy025.因为直线 AB 过点 M(2,3)，所以得2 x03 y025，所以点 Q 的轨迹方程为 2x3 y250.4已知长为 1 的线段 AB 的两个端点 A， B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， P 是 AB 上一2点，且
9、，则点 P 的轨迹 C 的方程为_AP 22PB 答案 y21x22解析 设 A(x0,0)， B(0， y0)， P(x， y)，则( x x0， y)， ( x， y0 y)，因为 ，AP PB AP 22PB 所以 x x0 x， y (y0 y)，得22 22x0 x， y0(1 )y.(122) 2因为| AB|1 ，即 x y (1 )2，2 20 20 2所以 2(1 )y2(1 )2，(122)x 2 2化简得 y21.x225所以点 P 的轨迹方程为 y21.x225(2018广州模拟)已知点 C(1,0)，点 A， B 是 O： x2 y29 上任意两个不同的点，且满足 0
10、，设 P 为弦 AB 的中点AC BC (1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x1 的距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解 (1)连接 CP， OP， OA，由 0，知 AC BC，AC BC | CP| AP| BP| |AB|，12由垂径定理知| OP|2| AP|2| OA|2，即| OP|2| CP|29，设点 P(x， y)，则有( x2 y2)( x1) 2 y29，化简，得 x2 x y24.(2)存在根据抛物线的定义，到直线 x1 的距离等于到点 C(1，0)的距离的点都在抛物线 y22 px(p0)上，其中 1.p2 p2，故抛物线方程为 y24 x，由方程组Error!得 x23 x40，6解得 x11， x24，由 x0，故取 x1，此时 y2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)
