1、1第 4 章 平面向量 第 3 讲A 组 基础关1已知向量 a， b 满足| a|1，| b|2 ， a 与 b 的夹角的余弦值为 sin ，则3173b(2a b)等于( )A2 B1 C6 D18答案 D解析 a 与 b 的夹角的余弦值为 sin ，173 32 ab3， b(2a b)2 ab b218.2(2018烟台一模)已知 a ， b ，则| a b|( )(cos 6， sin 6) (cos56， sin56)A1 B. C. D.62 3 102答案 C解析 因为 a b ，(cos 6 cos56， sin 6 sin56)所以| a b|2 2 2(cos 6 cos5
2、6) (sin 6 sin56)22 (cos 6cos56 sin 6sin56)22cos 22cos 3，( 6 56) 23所以| a b| .33已知向量 a( ，1)， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 ab ，则 b( )3 3A. B.(32， 12) (12， 32)C. D(1,0)(14， 334)答案 B解析 设 b(cos ，sin )( (0，)(，2)，则ab( ，1)(cos ，sin ) cos sin 2sin ，解得 ，故3 3 ( 3 ) 3 3b .(12， 32)4若单位向量 e1， e2的夹角为 ，向量 a e1 e2( R)，且| a| ，则
3、 ( ) 3 32A. B C. D12 12 34 34答案 B解析 由题意可得 e1e2 ，| a|2( e1 e2)212 2 ，化简得12 12 342 2 0，解得 .14 125已知平面向量 a， b 满足| a|3，| b|2， a 与 b 的夹角为 120，若( a mb) a，则实数 m 的值为( )A1 B. C2 D332答案 D解析 | a|3，| b|2， a 与 b 的夹角为 120， ab| a|b|cos12032 3.(12)( a mb) a，( a mb)a a2 mab3 23 m0，解得 m3.6(2018成都二诊)已知平面向量 a， b 的夹角为 ，
4、且| a|1，| b| ，则 a2 b 3 12与 b 的夹角是( )A. B. C. D. 6 56 4 34答案 A解析 解法一：因为 ab1 cos .12 3 14所以| a2 b|2 a24 ab4 b214 4 23，14 (12)所以| a2 b| ，3(a2 b)b ab2 b2 2 2 .14 (12) 34设 a2 b 与 b 的夹角为 ，则cos . a 2b b|a 2b|b|34312 32又 0，所以 . 6解法二：如图，设 A a， A b， A 2 b， A a2 b.由B E D C |A | A |， BAD ，易知平行四边形 ABCD 是菱形，所以 a2
5、b 与 b 的夹角为 .故B D 3 6选 A.37(2018南平二模)在 ABC 中，若 BC8， BC 边上的中线长为 3，则 ( )AB AC A7 B7 C28 D28答案 A解析 在 ABC 中，若 BC8， BC 边上的中线长为 3，可得| |6，| |8，AB AC AB AC 可得 22 236，AB AB AC AC 22 264，AB AB AC AC 两式作差可得，4 28，所以 7.AB AC AB AC 8(2018潍坊模拟)在等腰三角形 ABC 中， AB AC， BC6，点 D 为边 BC 的中点，则 _.AB BD 答案 9解析 因为 AB AC，点 D 为边
6、BC 的中点，所以 AD BC，所以 在 方向上的投影为|AB BD |cos( B)| |cosB| | | |3，AB AB BD 12BC 所以 | | |cos( B)3(3)9.AB BD AB BD 9若非零向量 a， b 满足| a|3| b| a2 b|，则 a， b 夹角 的余弦值为_答案 13解析 题中等式两边平方得，|a|2| a|24| b|24 ab| a|24| b|24| a|b|cos ，又考虑到| a|3| b|，所以 04| b|212| b|2cos .解得 cos ，故 a， b 夹角的余弦值为 .13 1310在 ABC 中， AB4， AC2， BA
7、C120， D 是边 BC 的中点若 E 是线段 AD 的中点，则 _.EB EC 答案 254解析 由题意得| |4，| |2，AB AC 42cos1204.AB AC 4 ( )，AE 12AD 14AB AC 2 ( )2 ( 22 2)AE 116AB AC 116AB AB AC AC (1684) ，116 34所以 ( )( )EB EC AB AE AC AE ( ) 2AB AC AB AC AE AE 4 2 2AB AC AE AE 3 2AB AC AE 43 .34 254B 组 能力关1已知向量 a， b，若 a(1,0)且| b|2| a|，则下列结论错误的是(
8、 )A| a b|的最大值为 3B| a b|的最大值为 3C当| a b|最大时 ab2D当| a b|最大时 ab2答案 C解析 由题意可得| b|2| a|2.当 a， b 共线且所成的角为 时，| a b|有最大值，最大值为 3，A 正确；此时 ab| a|b|cos2，C 错误；当 a， b 共线且所成的角为0 时，| a b|有最大值，最大值为 3，B 正确；此时 ab| a|b|cos02，D 正确2(2018日照模拟)已知 A， B 是圆 O： x2 y24 上的两个动点，| |2， ，若 M 是线段 AB 的中点，则 的值为( )AB OC 53OA 23OB OC OM A
9、. B2 C2 D33 3答案 D解析 由 ，又 ( )，所以 ( )OC 53OA 23OB OM 12OA OB OC OM (53OA 23OB ) 12OA OB 562 2 ，又 OAB 为等边三角形，所以 22cos602.又OA 13OB 12OA OB OA OB 2 24，所以 4 4 23.OA OB OC OM 56 13 123(2018天津高考)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC， AD CD， BAD120，AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为( )AE BE 5A. B.2116 32C. D32516答案 A解析 连接 BD，
10、由已知可得 DB 且 BCD 为等边三角形，因为 ，所3 DC DA AB BC 以 ( ) ，设 (0 1)，则 ( )(DC AB DA AB BC AB 32 DE DC AE BE AE AE AB )( )( )2( ) 3 2 .所以，当 时，DE DA DE DA AB DE DA DE DA AB 32 32 14 有最小值 .AE BE 21164(2017浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC 与 BD 交于点 O，记I1 ， I2 ， I3 ，则( )OA OB OB OC OC OD A I10，即 I1I3. I3
11、I1I2.故选 C.5(2018青岛模拟)已知向量 a， b 满足| b|5，| a b|4，| a b|6，则向量 a在向量 b 上的投影为_答案 1解析 因为| a b|4，所以 a22 ab b216， 因为| a b|6，所以 a22 ab b236， 得，4 ab20， ab5.所以 a 在 b 方向上的投影为| a|cos 1.ab|b| 556如图所示，半圆的直径 AB6， O 为圆心， C 为半圆上不同于 A， B 的任意一点，若P 为半径 OC 上的动点，则( ) 的最小值为_PA PB PC 答案 92解析 因为 2 ，所以( ) 2 2| | |.又因为| |PA PB PO PA PB PC PO PC PO PC PO |32 ，所以| | | .所以( PC |PO |PC | PO PC 94(当 且 仅 当 |PO | |PC | 32时 等 号 成 立 ) PA ) 2 2| | | .PB PC PO PC PO PC 92(当 且 仅 当 |PO | |PC | 32时 等 号 成 立 )7
