1、1第 4章 平面向量 第 2讲A组 基础关1下列各组向量中，可以作为基底的是( )A e1(0,0)， e2(1，2)B e1(1,2)， e2(5,7)C e1(3,5)， e2(6,10)D e1(2，3)， e2 (12， 34)答案 B解析 A，C，D 中两个向量共线，不可以作为基底，B 中两个向量不共线，可以作为基底2已知点 A(1,3)， B(4，1)，则与 同方向的单位向量是( )AB A. B.(35， 45) (45， 35)C. D.(35， 45) ( 45， 35)答案 A解析 (4，1)(1,3)(3，4)，AB OB OA 与 同方向的单位向量为 .AB AB |A
2、B | (35， 45)3(2018绍兴模拟)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若 3 a，则点 N的MN 坐标为( )A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案 A解析 因为 3 a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以点 N的坐标为ON OM MN OM (2,0)4已知向量 a(5，2)， b(4，3)， c( x， y)，若 a2 b3 c0，则 c( )A. B.(1，83) (133， 83)C. D.(133， 43) ( 133， 43)答案 D解析 因为 a2 b3 c(5，2)2(4，3)3( x， y)(133 x,43 y)0，所以Error!2解
3、得Error! 所以 c .(133， 43)5(2018山东青岛质检)设 e1与 e2是两个不共线的向量，3 e12 e2， ke1 e2， 3 e12 ke2，若 A， B， D三点共线，则 k的值为( )AB CB CD A B C D不存在94 49 38答案 A解析 由题意，知 A， B， D三点共线，故必存在一个实数 ，使得 .AB BD 又 3 e12 e2， ke1 e2， 3 e12 ke2，AB CB CD 所以 3 e12 ke2( ke1 e2)BD CD CB (3 k)e1(2 k1) e2，所以 3e12 e2 (3 k)e1 (2k1) e2，所以Error!
4、解得 k .946(2018长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) a b；PQ 32 32 a b；PT 32 a b；PS 32 12 a b.PR 32A B C D答案 C解析 根据向量的加法法则，得 a b，故正确；根据向量的减法法则，PQ 32 32得 a b，故错误； a b2 b a b，故正确； PT 32 32 PS PQ QS 32 32 32 12 PR PQ a b b a b，故错误故结论正确的为.QR 32 32 32 1237设向量 a(cos x，sin x)， b ，且 a tb， t0，则( cos(2 x)， cosx)sin2x( )A1 B1 C
5、1 D0答案 C解析 因为 b (sin x，cos x)， a tb，所以( cos(2 x)， cosx)cosxcosx(sin x)(sin x)0，即 cos2xsin 2x0，所以 tan2x1，即 tanx1，所以 x (kZ)，则 2x k (kZ)，所以 sin2x1，故选 C.k2 4 28在 ABCD中， AC为一条对角线， (2,4)， (1,3)，则向量 的坐标为AB AC BD _答案 (3，5)解析 因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 (1,3)(2,4)AD BC AC AB (1，1)，所以 (1，1)(2,4)(3，5)BD AD AB 9已知点 P(3
6、,5)， Q(2,1)，向量 m(2 1， 1)，若 m，则实数 等于PQ _答案 113解析 因为 (2,1)(3,5)(5，4)，PQ 又 m(2 1， 1)，且 m，所以4(2 1)5( 1)0，解得 .PQ 11310在 ABC中，点 M， N满足 2 ， ，若 x y ，则AM MC BN NC MN AB AC x_； y_.答案 12 16解析 如图，在 ABC中， ( )MN MA AB BN 23AC AB 12BC 23AC AB 12AC AB ，所以 x ， y .12AB 16AC 12 16B组 能力关41已知点 M是 ABC的边 BC的中点，点 E在边 AC上，且
7、 2 ，则 ( )EC AE EM A. B. 12AC 13AB 12AC 16AB C. D. 16AC 12AB 16AC 32AB 答案 C解析 如图，因为 2 ，所以 ，所以 ( EC AE EC 23AC EM EC CM 23AC 12CB 23AC 12AB ) .AC 12AB 16AC 2已知向量 m 与向量 n(3，sin A cosA)共线，其中 A是 ABC的内角，(sinA，12) 3则角 A的大小为( )A. B. C. D.6 4 3 2答案 C解析 m n，sin A(sinA cosA) 0，3322sin 2A2 sinAcosA3，31cos2 A si
8、n2A3， ，sin 1，3 (2A6) A(0，)， ，(2A6) ( 6， 116 )2 A ，解得 A .6 2 33(2018安徽皖江最后一卷)设点 O在 ABC的内部，且有 ( )，则 ABCAB 32OB OC 的面积与 BOC的面积之比为( )A3 B. C2 D.13 12答案 A解析 如图，取 BC的中点 D，在 AB上取一点 E，使 EB AB，则13 2 ， ( )3 ， EB AB， . 3.OB OC OD AB 32OB OC OD 13 EB OD S ABCS BOC S ABCS BEC54(2018湖南岳阳质检)如图， ABC中， AD DB， AE EC，
9、 CD与 BE交于点 F，设 a， b， xa yb，则( x， y)等于( )AB AC AF A. B.(12， 12) (23， 23)C. D.(13， 13) (23， 12)答案 C解析 由 a， b， AD DB， AE EC，得 b a， b a.因为 B， F， E三AB AC BE 12 DC 12点共线，令 t ，则 t a t (1 t)a b.因为 D， F， C三点共线，BF BE AF AB BE (12b a) t2令 s ，则 s (1 s)a sb.根据平面向量基本定理得Error!解得DF DC AF AD DC 12t ， s ，即 x ， y ，所以(
10、 x， y)为 ，故选 C.23 13 13 13 (13， 13)5已知梯形 ABCD，其中 AB DC，且 DC2 AB，三个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)，则点 D的坐标为_答案 (2,4)解析 在梯形 ABCD中， DC2 AB， AB DC， 2 .设点 D的坐标为( x， y)，DC AB 则 (4 x,2 y)， (1，1)，DC AB (4 x,2 y)2(1，1)，Error! 解得Error!故点 D的坐标为(2,4)6(2017江苏高考)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1,1， ，OA OB OC 26与 的夹角为 ，且 tan 7，
11、与 的夹角为 45.若 m n (m， nR)，则OA OC OB OC OC OA OB m n_.答案 3解析 解法一：因为 tan 7，所以 cos ，sin .210 7210过点 C作 CD OB交 OA的延长线于点 D，则 ， OCD45.又因为OC OD DC m n ，OC OA OB 所以 m ， n ，OD OA DC OB 所以| | m，| | n.OD DC 在 COD中，由正弦定理得 ，|DC |sin|OD |sin OCD|OC |sin ODC因为 sin ODCsin(180 OCD)sin( OCD) ，45即 ，n7210m22245所以 n ， m ，所以 m n3.74 54解法二：由 tan 7 可得 cos ，sin ，152 7527则 ，152OA OC |OA |OC | m nOA OB 2由 cos BOC 可得22 ，22OB OC |OB |OC | mOA OB n2cos AOBcos( 45)cos cos45sin sin45 ，152 22 752 22 35则 ，则 m n ， m n1，OA OB 35 35 15 35则 m n ，则 m n3.25 25 65
