1、1【课时训练】椭 圆一、选择题1(2018 湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率 e ，且它的一个焦点与抛12物线 y24 x 的焦点重合，则此椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x24 y23 x28 y26C. y21 D. y21x22 x24【答案】A【解析】依题意，可设椭圆的标准方程为 1( ab0)，由已知可得抛物线的焦x2a2 y2b2点为(1,0)，所以 c1.又离心率 e ，解得 a2， b2 a2 c23，所以椭圆的方程ca 12为 1.x24 y232(2018 保定模拟)已知椭圆 1 的离心率为 ，则 k 的值为( )x29 y24 k 45A21 B21C 或
2、21 D. 或211925 1925【答案】D【解析】当 94 k0，即 4k5 时， a3， c29(4 k)5 k， ，5 k3 45解得 k .1925当 9b0)的左，右顶点， P 是x2a2 y2b2椭圆 C 上异于 A1， A2的任意一点，若直线 PA1， PA2的斜率的乘积为 ，则椭圆 C 的离心49率为( )A. B. 49 23C. D.59 53【答案】D【解析】设 P(x0， y0)，则 ，y0x0 a y0x0 a 492化简，得 1，x20a2 y204a29则 ， e ，故选 D.b2a2 49 1 b2a2 1 49 534(2018 百校联盟 TOP20 联考)
3、根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点已知月球轨道上近地点高度约为 36 万千米，月球轨道上点 P 与椭圆两焦点F1， F2构成的三角形 PF1F2的面积约为 480 (万千米) 2， F1PF1 ，则月球绕地球运行3 3轨道的一个标准方程为( )A. 1 B. 1x2362 y2142 x2382 y24036C. 1 D. 1x2482 y24836 x2482 y23624【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为 1( a b0)由椭圆的定x2a2 y2b2义和余弦定理可得焦点三角形
4、的面积 S b2tan b2480 ，解得 b24036. 6 33 3月球轨道上近地点高度为 36， a c36. b2 a2 c2( a c)(a c)4036， a c40， a38.故所求的标准方程为 1.故选 B. x2382 y240365(2018 贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A1 B. 2C2 D2 2【答案】D【解析】设 a， b， c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意，知当三角形的高为 b 时面积最大，所以 2cb1， bc1.12而 2a2 2 2 (当且仅当 b c1 时取等号)，故选
5、D.b2 c2 2bc 26(2018 济南质检)设 A1， A2为椭圆 1( ab0)的左，右顶点，若在椭圆上存x2a2 y2b2在异于 A1， A2的点 P，使得 0，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范PO PA2 围是( )A. B.(0，12) (0， 22)3C. D.(12， 1) (22， 1)【答案】D【解析】 A1( a,0)， A2(a,0)，设 P(x， y)，则 ( x， y)， ( a x， y)， 0，( a x)( x)PO PA2 PO PA2 ( y)( y)0. y2 ax x20，0 .a22c2 c2a212又 00， b0)的焦点在 x
6、 轴上，过点(2,1)作x2a2 y2b2圆 x2 y24 的切线，切点分别为点 A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为_4【答案】 1x220 y216【解析】设切点坐标为( m， n)，则 1，n 1m 2 nm即 m2 n2 n2 m0. m2 n24，2 m n40，即直线 AB 的方程为 2x y40.直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2 c40， b40，解得 c2， b4. a2 b2 c220.椭圆的方程为 1.x220 y2168(2018 南昌一模)已知 P 为椭圆 1 上的一点， M， N 分别为圆( x3)x225 y2162 y21
7、 和圆( x3) 2 y24 上的点，则| PM| PN|的最小值为_【答案】7【解析】由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且| PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2|127.9(2018 石家庄质检)椭圆 y21 的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 为椭圆上一动x24点，若 F1PF2为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是_【答案】 (263， 263)【解析】设椭圆上一点 P 的坐标为( x， y)，则 ( x ， y)， ( x ， y)F1P 3 F2P 3 F1PF2为钝角， b0)的左顶点 A( a,0)作直线 l 交
8、 y 轴x2a2 y2b2于点 P，交椭圆于点 Q，若 AOP 是等腰三角形，且 2 ，则椭圆的离心率为PQ QA _5【答案】255【解析】 AOP 是等腰三角形， A( a,0)， P(0， a)设 Q(x0， y0)， 2 ，PQ QA ( x0， y0 a)2( a x0， y0)Error!解得Error!代入椭圆方程化简，可得 ，b2a2 15 e .1 b2a2 255三、解答题11(2018 乌鲁木齐调研)如图，椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F，右顶点，x2a2 y2b2上顶点分别为 A， B，且| AB| |BF|.52(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若斜率为 2
9、的直线 l 过点(0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P， Q 两点， OP OQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 【解】(1)由已知| AB| |BF|，即 a，52 a2 b2 524a24 b25 a2,4a24( a2 c2)5 a2， e .ca 32(2)由(1)，知 a24 b2，椭圆 C： 1.x24b2 y2b2设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，直线 l 的方程为 y22( x0)，即 2x y20.由Error!消去 y，得 x24(2 x2) 24 b20，即 17x232 x164 b20. 32 21617( b24)0，解得 b .217176x1 x2 ， x1x2 .3217 16 4b217 OP OQ， 0，OP OQ 即 x1x2 y1y20， x1x2(2 x12)(2 x22)0，5x1x24( x1 x2)40.从而 40，516 4b217 12817解得 b1，满足 b .21717椭圆 C 的方程为 y21.x24
