1、1【课时训练】空间几何体的表面积及体积一、选择题1(2018 石家庄调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A4 B4 2 32C4 D452【答案】C【解析】由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的 ，即 1 23221 1 214 .12 12 522(2018 大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A B 4 33 8 362C D(4) 8 33 3【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为 1，四棱锥的底面是一个边长为
2、 2 的正方形，它们的高均为 ，则 V 313 .故选 B.(12 4) 3 8 363(2018 日照模拟)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A9 B10C11 D12【答案】C【解析】如图所示，根据三视图，可知几何体为长方体截去三棱锥 A1 AED1所剩的几何体，所以几何体的体积 V V 长方体 V 三棱锥A1 AED1223 311.故选 C.13 (1221)34(2018 东北三校联考)已知四面体 ABCD 中， ABC 和 BCD 都是边长为 6 的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是( )A60 B30C20 D1
3、5【答案】A【解析】当四面体的体积最大时，平面 ABC平面 BCD，设其外接球球心为 O，分别取 ABC， BCD 的中心为 O1， O2，则 OO1平面 ABC， OO2平面 BCD，连接 O2D.在 Rt OO2D中， OO2 6 ， O2D 62 ，所以13 32 3 23 32 3R OD ，所以 S4 R260.故选 A. 3 2 23 2 155(2018 广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A B6203C D 103 163【答案】C【解析】该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V 4
4、1 42 .故选 C.12 12 13 1036(2018 福建三明一中 1 月月考)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的六个顶点都在半径为1 的半球面上， AB AC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为( )4A B222C2 D1【答案】A【解析】由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1，则正方形的边长为 .2 ABC A1B1C1为直三棱柱，平面 ABC平面 BCC1B1. BC 为截面圆的直径 BAC90. AB AC， AB1.侧面 ABB1A1的面积为 1 .故选 A.2 27(2018 广西质检)高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到
5、一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A B34 14C D12 38【答案】C【解析】由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为 2(24)6 的四棱锥，12其体积为 4.易知直三棱柱的体积为 8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为 ，12故选 C.8(2018 沈阳模拟)已知四面体 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面ABC， AB AC，且 BC1， PB AB2，则球 O 的表面积为( )5A7 B8C9 D10【答案】C【解析】依题意，记题中的球的半径是 R，可将题中的四面体补形成一个
6、长方体，且该长方体的长、宽、高分别是 2、1、2，于是有(2 R)21 22 22 29,4 R29，所以球O 的表面积为 9，选 C.二、填空题9(2018 合肥第二次质量检测)已知球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则球 O 的表面积为_【答案】8【解析】由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R ，该球的表面积为 4 R28.12 12 210(2018 武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为 _2【答案】25【解析】如图，正四棱锥 P ABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1上，设球的半径为R，
7、因为底面边长为 2 ，所以 AC4.在 Rt AOO1中， R2(4 R)22 2，所以 R .所以球252的表面积 S4 R225.11(2018 三门峡陕州中学对抗赛)如图所示， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于A， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO OB1，则三棱锥 P ABC 体积的最大值为_【答案】136【解析】 VP ABC POS ABC，当 ABC 的面积最大时，三棱锥 P ABC 体积达到最大13值当 CO AB 时， ABC 的面积最大，最大值为 211，此时 VP ABC POS ABC .12 13 13三、解答题12(2018 山东
8、青岛二模)如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC，已知 A1B1 B1C12， A1B1C190， AA14， BB13， CC12，求：(1)该几何体的体积(2)截面 ABC 的面积【解】(1)过点 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2.由直三棱柱性质及 A1B1C190可知 B2C平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V VA1B1C1 A2B2C VC ABB2A2 222 (12)12 13 12226.(2)在 ABC 中， AB ， BC ，22 4 3 2 5 22 3 2 2 5AC
9、 2 . 22 2 4 2 2 3则 S ABC 2 .12 3 5 2 3 2 613(2018 长春一模)如图， ABC 内接于圆 O， AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形， DC平面 ABC， AB2， EB .37(1)求证： DE平面 ADC；(2)设 AC x， V(x)表示三棱锥 B ACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值(1)【证明】四边形 DCBE 为平行四边形， CD BE， BC DE. DC平面 ABC， BC平面 ABC， DC BC. AB 是圆 O 的直径， BC AC，且 DC AC C. BC平面 ADC. DE BC， DE平面 ADC.(2)【解】 DC平面 ABC， BE平面 ABC.在 Rt ABE 中， AB2， EB .3在 Rt ABC 中， AC x， BC (0x2)，4 x2 S ABC ACBC x .12 12 4 x2 V(x) VE ABC x (0x2)36 4 x2 x2(4 x2) 24，当且仅当 x24 x2，即 x 时，取等号， x(x2 4 x22 ) 2时，体积有最大值 .2338
