1、152.2 间接证明：反证法读教材填要点1反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法2反证法的一般步骤(1)反设；(2)归谬；(3)结论小问题大思维1用反证法证明命题“若 p，则 q”时，綈 q 假， q 即为真吗？提示：是的在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈 q 是 q 的反面，若綈 q 为假，则 q 必为真2反证法与逆否命题证明的区别是什么？提示：反证法的理论依据是 p 与綈 p 真假性相反，通过证明綈 p 为假命题说
2、明 p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“ pq”与“綈 q綈 p”是等价命题，通过证明命题“綈 q綈 p”为真命题来说明命题“ pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定型命题直线 y kx m(m0)与椭圆 W： y21 相交于 A， C 两点， O 是坐标原x24点当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，求证：四边形 OABC 不可能为菱形自主解答 假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC OB，所以 k0.由Error!消去 y 并整理得(14 k2)x28 kmx4 m240.设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则
3、 ，x1 x22 4km1 4k2 k m ，y1 y22 x1 x22 m1 4k2设 AC 的中点为 M，2则 M ，(4km1 4k2， m1 4k2)因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0， k0，所以直线 OB 的斜率为 .14k因为 k 1，(14k)所以 AC 与 OB 不垂直所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以四边形 OABC 不可能是菱形1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤1设函数 f(x) ax2 bx c
4、(a0)中， a， b， c 均为整数，且 f(0)， f(1)均为奇数求证： f(x)0 无整数根证明：假设 f(x)0 有整数根 n，则 an2 bn c0( nZ)，而 f(0)， f(1)均为奇数，即 c 为奇数， a b 为偶数，则 an2 bn c 为奇数，即 n(an b)为奇数 n， an b 均为奇数，又 a b 为偶数， an a 为奇数，即 a(n1)为奇数， n1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾 f(x)0 无整数根用反证法证明“至多” “至少”型命题已知 a1，求证三个方程： x24 ax4 a30， x2( a1)3x a20， x22 ax2 a0 中至少有一个方程
5、有实数解自主解答 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：Error! Error!这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解用反证法证明“至多” “至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多” “至少” “不可能”等字样时，常用反证法2已知 a1 a2 a3 a4100，求证： a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.证明：假设 a1， a2， a3， a4均不大于 25，即 a12
6、5， a225， a325， a425，则 a1 a2 a3 a425252525100，这与已知 a1 a2 a3 a4100 矛盾，故假设错误所以 a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.用反证法证明“唯一”型命题用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行自主解答 由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点 A 至少有一条直线与直线a 平行假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 b b A， b a .因为 ba ，由平行公理知 b b .这与假设 b b A 矛盾，所以假设错误，原命题成立巧用反证法证明唯一性命题(1)
7、当证明结论有以“有且只有” “当且仅当” “唯一存在” “只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒4了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性3设 a1，函数 f(x)(1 x2)ex a.证明： f(x)在(，)上仅有一个零点证明：因为 a1，所以 f(0)1 a0，所以 f(0)f(ln a)180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设
8、ABC 中有两个直角，不妨设 A90， B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：6已知三个正数 a， b， c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成a b c6等差数列证明：假设 ， ， 成等差数列，则 2 ，a b c a c b即 a c2 4 b，ac而 b2 ac，即 b ，ac所以 a c2 4 ，ac ac所以( )20，即 .a c a c从而 a b c，与 a， b， c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列a b c一、选择题1设 a， b， c(，0)，则 a ， b ， c ( )1b 1c 1aA都不大于2
9、B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：因为 a b c 6，所以三者不能都大于2.1b 1c 1a答案：C2用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时，应假设( )A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有” ，所以“三角形三个内角至少有一个不大于 60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于 60”，即“三个内角都大于 60”答案：B3已知数列 an， bn的通项公式分别为 an an2， bn bn1( a， b 是常数)，且a b，那么两个数
10、列中序号与数值均相同的项的个数有( )A0 个 B1 个C2 个 D无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得 an bn，由题意 a b， nN *，则恒有 an bn，从而 an2 bn1 恒成立，不存在 n 使 an bn.答案：A74有以下结论：已知 p3 q32，求证： p q2，用反证法证明时，可假设 p q2；已知 a， bR，| a| b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的答案：D二、填空题5用反证法证明命题“ a， b 为整数，若 ab 不是偶数，则 a， b 都不是偶数”时，应假设为_解析：“ a， b 都不是偶数”指“ a， b 都是奇数” ，它的反
11、面是“ a， b 不都是奇数” 答案： a， b 不都是奇数6命题“ a， bR，若| a1| b1|0，则 a b1”用反证法证明时应假设为_解析：“ a b1”的反面是“ a1 或 b1” ，所以设为 a1 或 b1.答案： a1 或 b17完成以下反证法证题的全过程设 a1， a2， a7是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p( a11)(a22)( a77)为偶数证明：反设 p 为奇数，则 a11， a22， a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_ _ 0.但 0奇数，这一矛盾说明 p 为偶数解析：将 a11， a22， a77 相加后，再分组结合计算答案：( a11)
12、( a22)( a77)(a1 a2 a7)(127)88若下列两个方程 x2( a1) x a20， x22 ax2 a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根” ，这样求得 a 的集合记为 A，那么原命题所求 a 的取值范围即为RA，解法如下：若两个方程都无实根Error!Error!2 a1.则 A a|2 a1，故 RA a|a2 或 a1答案：(，21，)三、解答题9已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点， f(c)0，且当 00.(1)证
13、明： 是函数 f(x)的一个零点；1a(2)试用反证法证明： c.1a证明：(1) f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点， f(x) ax2 bx c0 有两个不等实根，设为 x1， x2. f(c)0， c 是 f(x)0 的一个根，不妨令 x1 c.又 x1x2 ， x2 ( c)，ca 1a 1a 是 f(x)0 的一个根，1a即 是函数 f(x)的一个零点1a(2)由(1)知 c，故假设 0，又当 00，1a f 0，与 f 0 矛盾，(1a) (1a)假设不成立， c.1a10已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an Sn2.(1)求数列 an的通项公式；(2)求证：数列 an中不存在三项按原来顺序成等差数列9解：(1)当 n1 时， a1 S12 a12，则 a11.又 an Sn2，所以 an1 Sn1 2，两式相减得 an1 an，12所以 an是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an .12n 1(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1 ， aq1 ， ar1 (pqr，且 p， q， rN )，则 2 ，所以 22r q2 r p1. 12q 12p 12r又因为 pqr，所以 r q， r pN .所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证
