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    2019年高中数学第4章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.1利用导数研究函数的单调性讲义(含解析)湘教版选修2_2.doc

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    2019年高中数学第4章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.1利用导数研究函数的单调性讲义(含解析)湘教版选修2_2.doc

    1、143.1 利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间( a, b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系:导函数的正负 函数在( a, b)上的单调性f( x)0 单调递增f( x)0,则 f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?提示:不一定成立比如 y x3在 R上为增函数,但其在 0处的导数等于零也就是说 f( x)0是 y f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数 y f( x)的图象,则函数 y f(x)的单调区间是什么?提示:单调递增区间:(,3,2,1,3,);单调递减区间:3,2,1,3判断(或证明)函数的单调性已知函数 f(x) ax33 x21 ,讨论函数

    2、 f(x)的单调性3a自主解答 由题设知 a0. f( x)3 ax26 x3 ax ,(x2a)令 f( x)0,得 x10, x2 .2a当 a0时,若 x(,0),则 f( x)0. f(x)在区间(,0)上为增函数若 x ,则 f( x)0,(2a, )2 f(x)在区间 上是增函数(2a, )当 a0.(2a, 0) f(x)在区间 上为增函数(2a, 0)若 x(0,),则 f( x)0,即 f( x)0. f(x)在(0,)内为增函数当 x(,0)时,e x10,即 0,6x2 1x x0,6 x210, x .令 f( x)0,6 x210( ax2) x0 x0x0或 x0,

    3、解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式 f( x)0),则 h( x) 0,从而 f( x)0;当 x1时, h(x) 有解1x2 2x5设 G(x) ,所以只要 aG(x)min即可1x2 2x而 G(x) 21,所以 G(x)min1.(1x 1)所以 a1.即实数 a的取值范围是(1,)(2)因为 h(x)在1,4上单调递减,所以 x1,4时, h( x) ax20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x所以 a G(x)max.而 G(x) 21.(1x 1)因为 x1,4,所以 .1x 14, 1所以 G(x)max (此时 x4)716所以 a .716当 a 时, h(

    4、 x) x2716 1x 716 .16 7x2 32x16x 7x 4 x 416x x1,4, h( x) 0. 7x 4 x 416x即 h(x)在1,4上为减函数故实数 a的取值范围是 .716, )若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增” ,如何求 a的取值范围?解: h(x)在1,4上单调递增, x1,4时, h( x) ax20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x6设 G(x) ,只需 a G(x)min.1x2 2x又 G(x) 21, x1,4, .(1x 1) 1x 14, 1 G(x)min1, a1.经验证: a1 时, h(x)在1,4上单调递增,综上所述, a

    5、的取值范围为(,1已知 f(x)在区间 D上单调,求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法:通常将f( x)0(或 f( x)0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围特别地,若 f( x)为二次函数,可以由 f( x)0(或 f( x)0)恒成立求出参数的取值范围3已知 a0,函数 f(x)( x22 ax)ex,若 f(x)在1,1上是单调减函数,则 a的取值范围是( )A. B.(0,34) (12, 34)C. D.34, ) (0, 12)解析: f( x)(2 x2 a)ex( x22 ax)ex x2(22 a)x2 aex,由题意当 x1,1时, f( x)

    6、0 恒成立,即 x2(22 a)x2 a0 恒成立令 g(x) x2(22 a)x2 a,则有Error!即Error! 解得 a .34答案:C证明:方程 x sin x0 有唯一解12巧思 方程 f(x)0 的解即曲线 y f(x)与 x轴交点的横坐标,因此可以通过构造函数来解决妙解 设 f(x) x sin x,当 x0 时, f(0)0,127所以 x0 是方程 x sin x0 的一个解12因为 f( x)1 cos x,12且 xR 时, f( x)0总成立,所以函数 f(x)在 R上单调递增所以曲线 f(x) x sin x与 x轴只有一个交点12所以方程 x sin x0 有唯

    7、一解121函数 f(x) x33 x21 的单调递减区间为( )A(2,) B(,2)C(,0) D(0,2)解析: f( x)3 x26 x3 x(x2),令 f( x)0,结合4 x4,得4 x0,12x 1x所以 f(x)在(0,)上是增函数,9所以有 f(2)3或 x0,所以 y f(x)在(,1)和(3,)上单调递增综上,函数 y f(x)的图象的大致形状如 A中图所示,所以选 A.答案:A4 f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数,当 x0;当 x(1,0)时,f( x)0.故 f(x) 在(,1),(0,)上单调递增,在(1,0)上单调递减答案:(,1)和(0,)

    8、 (1,0)8已知函数 f(x) 2 x2ln x(a0)若函数 f(x)在1,2上为单调函数,则 a3xa的取值范围是_解析: f( x) 4 x ,若函数 f(x)在1,2上为单调函数,3a 1x即 f( x) 4 x 0 或 f( x) 4 x 0 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x,即 4 x 或 4 x 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x令 h(x)4 x ,则 h(x)在1,2上单调递增,1x所以 h(2)或 h(1),即 或 3,3a 3a 3a 152 3a又 a0,所以 0 a 或 a1.25答案: 1,)(0,25三、解答题119已知函数 f(x) ln x ,其中

    9、 aR,且曲线 y f(x)在点(1, f(1)处的x4 ax 32切线垂直于直线 y x.12(1)求 a的值;(2)求函数 f(x)的单调区间解:(1)对 f(x)求导得 f( x) ,14 ax2 1x由 f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线 y x12知 f(1) a2,解得 a .34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ,x4 54x 32则 f( x) ,x2 4x 54x2令 f( x)0,解得 x1 或 x5,因 x1 不在 f(x)的定义域(0,)内,故舍去当 x(0,5)时, f( x)0,故 f(x)在(5,)内为增函数10已知函数 f(x) aln x ax3( aR)(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a1 时,证明:当 x(1,)时, f(x)20.解:(1)根据题意知, f( x) (x0),a 1 xx当 a0时,则当 x(0,1)时, f( x)0,当 x(1,)时, f( x)f(1)即 f(x)2,所以 f(x)20.12


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