1、141 导数概念读教材填要点1物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为 s f(t)，则物体在任意时刻 t 的瞬时速度 v(t)，就是平均速度v(t， d) 在 d 趋于 0 时的极限f t d f td2函数 y f(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数 y f(x)的曲线上任一点 P(u， f(u)处的切线的斜率 k(u)，就是过 P(u， f(u)，Q(u d， f(u d)两点割线 PQ 的斜率 k(u， d) 在 d 趋于 0 时的极f u d f ud限3导数的概念(1)函数 y f(x)在点 x x0处的导数：设函数 y f(x)在包含 x0的某个区间上有定义，如果比值 在 d
2、趋f x0 d f x0d于 0 时( d0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数 f(x)在 x x0处的导数或微商，记作 f( x0)，简述为： f( x0)(d0)f x0 d f x0d(2)导函数：当 x0为 f(x)的定义区间中的任意一点，即为 x，而 f( x)也是 x 的函数，叫作 f(x)的导函数或一阶导数，若 f( x)在 x 处又可导，则它的导数叫作 f(x)的二阶导数，记作f( x)，类似地，可以定义三阶导数 f( x)等等小问题大思维1若函数 f(x)在 x1， x2内差商为 0，能否说明函数 f(x)没有变化？提示：不能说明理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋
3、势，步长 d 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况在某些情况下，求出的差商为 0，并不一定说明函数没有发生变化如函数 f(x) x2在2,2上的差商为 0，但 f(x)的图象在2,2上先减后增2.函数 y f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较 f( x1)， f( x2)和 f( x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在 A， B 处的切线斜率大于零且 kAkB，2在 C 处的切线斜率小于零，所以 f( x1)f( x2)f( x3)3 f( x0)与 f( x)的区别是什么？提示： f( x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数
4、，依赖于函数本身，而与 x0， d 无关； f( x0)表示的是函数 f(x)在 x x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及 x0的位置有关，而与 d 无关求函数在某一点处的导数求函数 f(x)2 x24 x 在 x3 处的导数自主解答 法一： f(3 d) f(3)2(3 d)24(3 d)(23 243)12 d2 d24 d2 d216 d， 2 d16.f 3 d f 3d 2d2 16dd d0 时， f(3)16.法二： 2 x d 2 4 x d 2x2 4xd 4xd 2d2 4dd4 x2 d44 x4( d0)，即 f( x)4 x4， f(3)4
5、3416.在本例中，若函数在 x x0处的导数是 8，求 x0的值解：根据导数的定义，f x d f xd 2 x d 2 4 x d 2x2 4xd4xd 2d2 4dd4 x2 d44 x4( d0)， f( x)4 x4.令 f( x0)4 x048，解得 x01.根据导数的定义，求函数 y f(x)在点 x0处的导数的步骤(1)求函数的差分 f(x0 d) f(x0)；3(2)求差商 ；f x0 d f x0d(3)取极限， d0 得导数 f( x0)1求函数 f(x) x 在 x1 处的导数1x解： f(1 d) f(1)(1 d) d ，11 d (1 11) d1 d 1 ，f
6、1 d f 1d d d1 dd 11 d d0 时， f(1)112.求瞬时速度一条水管中流过的水量 y(单位：m 3)是时间 t(单位：s)的函数，且 y f(t)3 t.求函数 y f(t)在 t2 处的导数 f(2)，并解释它的实际意义自主解答 根据导数的定义， 3，f 2 d f 2d 3 2 d 32d f(2)3.f(2)的意义是：水流在 2 s 时的瞬时流量为 3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为 3 m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系 s s(t)；(2)求时间改变量 d，位移改变量 s s(t0 d) s(t0)；(3)求平
7、均速度 ； sd(4)求瞬时速度， vli .md 0 sd2一辆汽车按规律 s2 t23 作直线运动，求这辆车在 t2 时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)4解：设这辆车在 t2 附近的时间步长为 d，则位移的差分2(2 d)23(22 23)8 d2 d2，差商82 d f(2)8( d0)所以这辆车在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线 y x2在点 P 处的切线与直线 4x y20 平行，求 P 点的坐标及切线 方程自主解答 设 P 点坐标为( x0， y0)， x d 2 x2d 2xd d2d2 x d y2 x(d0)，切线的斜率为 k2 x
8、0.又由切线与直线 4x y20 平行，2 x04， x02. P(2， y0)在抛物线 y x2上， y04.点 P 的坐标为(2,4)切线方程为 y44( x2)即 4x y40.若将本例中的“平行”改为“垂直” ，其它条件不变，如何求解？解：设 P 点坐标为( x0， y0)， x d 2 x2d2xd d2d2 x d2 x(d0)， y2 x，故切线斜率为 k2 x0.又切线与直线 4x y20 垂直，2 x0 ，14即 x0 .18 y0 x .201645 P 点坐标为 .(18， 164)切线方程为 y ，164 14(x 18)即 16x64 y10.利用导数的几何意义求切线
9、方程的方法(1)若已知点( x0， y0)在已知曲线上，则先求出函数 y f(x)在点 x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y y0 f( x0)(x x0)(2)若题中所给的点( x0， y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程3已知曲线 C： y x3 .13 43(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？解：(1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点 P(2,4) f(2 d) f(2) (2 d)3 23 4 d2 d2 d3，13
10、43 13 43 13 42 d d2，f 2 d f 2d 4d 2d2 13d3d 13当 d 趋于 0 时， 趋于 4.f 2 d f 2d曲线在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k4，切线方程为 y44( x2)，即 4x y40.(2)由Error! 可得( x2) 2(x4)0.解得 x12， x24.从而求得公共点为 P(2,4)或 M(4，20)，即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(4，20).设 P 为曲线 C： f(x) x22 x3 上的一点，且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角 的6取值范围为 ，求点 P 横坐标的取值范围0， 4巧思 曲线 C 在点
11、 P 处的切线的倾斜角 的取值范围为 ，即切线的斜率0， 4k0,1，故曲线 C 在 P 点处的导数的取值范围为0,1妙解 设点 P(x0， y0)，则 x0 d 2 2 x0 d 3 x20 2x0 3d2 x0 d22 x02( d0) f( x0)2 x02. ，0， 40tan 1.即 02 x021.解得1 x0 .12点 P 横坐标的取值范围是 . 1， 121函数 y x2在 x1 处的导数为( )A2 x B2 dC2 D1解析： y x2在 x1 处的导数为 f(1)，则 2 d2( d0)， f(1)2. 1 d 2 1d答案：C2一个物体的运动方程为 s1 t t2，其中
12、 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A7 米/秒 B6 米/秒C5 米/秒 D8 米/秒解析：1 3 d 3 d 2 1 3 32d5 d5( d0)， s(3)5.答案：C3若曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线方程为 2x y10，则( )7A f( x0)0 B f( x0)f( xB)B f( xA)f( xB)C f( xA) f( xB)D不能确定解析：由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f( xA)f( xB)，选 B.答案：B2下列说法正确的是( )A曲线的切线和曲线
13、有且只有一个交点B过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C若 f( x0)不存在，则曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处无切线D若 y f(x)在点( x0， f(x0)处有切线，则 f( x0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故 A、B 错误； f( x0)不存在，曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)的切线也可能存在，此时切线方程为 x x0，故 C 错误答案：D3已知曲线 y2 x2上一点 A(2,8)，则 A 处的切线斜率为( )A4 B16C8 D2解析：曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y2 x2在 x2 处的导数9
14、 4 x(d0)2 x d 2 2x2d 4xd 2d2d f( x)4 x.则 f(2)8.答案：C4已知曲线 C： y x3在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为( )A(2，8) B(2,8)C(1，1)或(1,1) D (12， 18)解析：设 P(x0， y0)，则 3 x (d0)， f( x0)3 x . x0 d 3 x30d 20 20令 3x 3，解得 x01 或 x01.20 P(1,1)或(1，1)答案：C二、填空题5如果质点 M 按照规律 s3 t2运动，则在 t3 时的瞬时速度为_解析：差商 183 d18( d0)3 3 d 2 332ds(3)18.答
15、案：186一物体的运动方程为 s7 t213 t8，且在 t t0时的瞬时速度为 1，则t0_.解析：差分7( t0 d)213( t0 d)87 t 13 t082014 t0d13 d7 d2.差商14 t0137 d14 t013( d0) s( t0)14 t0131. t01.答案：17已知函数 y f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程是 y x2，则 f(1)12 f(1)_.解析：由导数的几何意义得 f(1) ，12由切线方程得 f(1) 12 ，12 52所以 f(1) f(1)3.10答案：38曲线 f(x) 在点(2，1)处的切线方程为_2x解析： (d0)f
16、 2 d f 2d 2 2 d 1d 1 2 d 12 f(2) .故曲线在点(2，1)处的切线方程为 y1 (x2)，12 12整理得 x2 y40.答案： x2 y40三、解答题9设质点做直线运动，已知路程 s 是时间 t 的函数， s3 t22 t1.(1)求从 t2 到 t2 d 的平均速度，并求当 d1，d0.1 与 d0.01 时的平均速度；(2)求当 t2 时的瞬时速度解：(1)差分 s(2 d) s(2)3(2 d)22(2 d)1(32 2221)14 d3 d2，差商143 d，v当 d1 时， 17；当 d0.1 时， 14.3；v v当 d0.01 时， 14.03.v
17、(2)由(1)可知，143 d14( d0)， s(2)14.当 t2 时的瞬时速度为 14.10已知抛物线 y2 x21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x y20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x8 y30?解：设切点的坐标为( x0， y0)，则差分2( x0 d)212 x 1204 x0d2 d2.差商4 x02 d.当 d 无限趋近于零时，差商无限趋近于 4x0.即 f( x0)4 x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，11斜率为 tan 451.即 f( x0)4 x01，得 x0 .14该切点为 .(14， 98)(2)抛物线的切线平行于直线 4x y20，斜率为 4，即 f( x0)4 x04.得 x01.该切点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8 y30 垂直，斜率为 8.即 f( x0)4 x08，得 x02.该切点为(2,9)
