1、137 点到平面的距离读教材填要点1点到平面的距离(1)定义：从空间中一点 P 到平面 作垂线 PD 交平面 于 D，则线段 PD 的长度 d 称为点 P 到平面 的距离(2)求法：平面 的法向量 n 以及平面上任一点 A，则 在法向量 n 所在方向上的AP 投影长度 d 就等于点 P 到平面 的距离，即 d .2直线与平面的距离设直线 l 平行于平面 ，则 l 上所有的点到 的距离相等，称为 l 与 的距离，显然，只要在 l 上任取一点 P，求出 P 到 的距离，就得到 l 与 的距离3平面与平面的距离设两个平面 与 平行，则 上所有的点到 的距离 d 相等， d 称为两个平行平面 ， 之间
2、的距离显然，只要在 上任取一点 P，求出 P 到 的距离，就得到了这两个平面的距离小问题大思维1求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行2点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离求点到平面的距离四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形， PD平面ABCD， PD DA2， F， E 分别为 AD， PC 的中点(1)求证： DE平面 PFB；(2)求点 E 到平面 PFB 的距离2自主解答 (1)证明：以 D 为
3、原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,2)， F(1,0,0)， B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)， (1,2,0)，FP FB (0,1,1)，DE ，DE 12FP 12FB 平面 PFB.DE 又 DE平面 PFB， DE平面 PFB.(2) DE平面 PFB，点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平面 PFB 的距离设平面 PFB 的一个法向量 n( x， y， z)，则 Error!令 x2，得 y1， z1. n(2，1,1)，又 (1,0,0)，FD 点 D 到平面 PFB 的距离d .26 63点 E 到平面 PFB 的距离为 .63利用空
4、间向量求点到平面的距离的四步骤31长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB4， AD6， AA14， M 是 A1C1的中点， P 在线段 BC上，且| CP|2.求点 M 到平面 AB1P 的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(4,0,0)， B1(0,0,4)，P(0,4,0)， M(2,3,4)设 n( x， y， z)是平面 AB1P 的一个法向量，则 n ， nAB1 ，AP (4,0,4)， (4,4,0)，AB1 AP Error!因此可取 n(1,1,1)，由于 (2，3，4)，MA 所以点 M 到平面 AB1P 的距离为d ，|21 3 1 4 1|3 533故
5、M 到平面 AB1P 的距离为 .533求直线与平面、平面与平面的距离棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1， CC1的中点，DG DD1，过 E， F， G 的平面交 AA1于点 H，求直线 A1D1到平面 EFGH 的距离13自主解答 以 D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则 E ， F ，(1， 1，12) (0， 1， 12)G ， D1(0,0,1)，(0， 0，13) (1,0,0)，EF .FG (0， 1， 16)设平面 EFGH 的一个法向量为 n( x， y， z)，4则 n 0，且 n 0，EF FG 即Error! 令
6、z6，可得 n(0，1,6)又 ， d .D1F (0， 1， 12) 43737(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解2正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，求平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1,0,1)， B(1,1,0)， D1(0,0,1)，(0,1，1)， (1,0，1)，A1B A1D (1,0,0)A1D1 设平面 A1BD 的一个法向量为 n( x， y，
7、 z)，则 Error!令 z1，得 y1， x1， n(1,1,1)点 D1到平面 A1BD 的距离 d .13 33平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面 A1BD 的距离，平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 .33解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，求直线 BD 与 B1C 的距离解 法一：连接 AC，交 BD 于点 O，则 O 为 AC， BD 的中点，取 CC1的中点 M，连接5BM 交 B1C 于 E，连接 OM， AC1，则 OM AC1，过 E 作 EF OM 交 OB 于 F
8、，则 EF AC1，又斜线 AC1的射影为 AC， BD AC， BD AC1， EF BD.同理 AC1 B1C， EF B1C. EF 为 BD 与 B1C 的公垂线 M 为 CC1的中点， MEC BEB1， .MCBB1 MEBE 12 BM a， BE MB a，52 23 53 EF OM， ，BFBO BEBM 23故 BF OB a，23 23 EF a.BE2 BF233法二：(转化为直线到平面的距离) BD平面 B1D1C， B1C平面 B1D1C，故 BD 与 B1C 的距离就是 BD 到平面 B1D1C 的距离为 h，由 VBB1D1C VD1B1BC，即 ( a)2h
9、 a2a，解得 h a.13 34 2 13 12 33法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：平面 B1D1C平面 A1BD， AC1平面 A1BD，用等体积法易证 A 到平面 A1BD 的距离为 a.33同理可知 C1到平面 B1D1C 的距离为 a，而 AC1 a，故两平面间的距33 3离为 a.33即 BD 与 B1C 的距离为 a.33法四：(垂面法)如图， BD平面 B1CD1， B1D1 A1C1， B1D1 OO1， B1D1平面 OO1C1C.平面 OO1C1C平面 B1D1C O1C， O1 B1D1，故 O 到平面 D1B1C 的距离为 Rt O1OC 斜边上的高，h a
10、.OCOO1O1C22aa32a 336法五：(极值法)如图，在 B1C 上取一点 M，作 ME BC 交 BC 于 E，过 E 作 EN BD 交 BD 于 N，易知 MN 为 BD 与 B1C 的公垂线时， MN 最小设 BE x，则 CE ME a x， EN x，22 MN 12x2 a x 2 ，32x2 2ax a2 32(x 23a)2 a23当 x a 时， MNmin a.23 331 ABC 中， AB AC5， BC6， PA平面 ABC， PA8，则点 P 到 BC 的距离是( )A. B25 5C3 D45 5解析：在平面 ABC 内作 AH BC，垂足为 H，连接
11、PH，则 PH 即为点 P 到 BC 的距离PH 4 .82 42 64 16 5答案：D2 ABC 中， C90，点 P 在 ABC 所在平面外， PC17，点 P 到 AC， BC 的距离PE PF13，则点 P 到平面 ABC 的距离等于( )A7 B8C9 D10解析：点 P 在平面 ABC 内的射影在 C 的平分线上，易求 d7.答案：A3已知夹在两平行平面 ， 内的两条斜线段， AB8 cm， CD12 cm， AB 和 CD 在 内的射影的比为 35，则 ， 间的距离为( )A. cm B. cm5 17C. cm D. cm19 21解析：设 ， 间距离为 d， AB， CD
12、在 内的射影长分别为 3x,5x，由Error!解得d .19答案：C74.如图，在三棱锥 ABCD 中， AC底面BCD， BD DC， BD DC， AC a， ABC30，则 C 点到平面 ABD 的距离是_解析：设 C 到平面 ABD 的距离为 h，则由 VCABD VABCD得， S ABDh S BCDAC，13 13即 BDCDAC BDADh，13 12 13 12解得 h a.155答案： a1555.如图，等边三角形 ABC 的边长为 4， D 为 BC 中点，沿 AD 把 ADC 折叠到 ADC处，使二面角 BADC为 60，则折叠后点 A 到直线 BC的距离为_解析：取
13、 BC中点 E，连接 AE， DE，则 AE BC， DE BC， BD AD， CD AD， BD AD， C D AD， BDC即为二面角 BADC的平面角， BDC为正三角形，即| AE|为 A 到 BC的距离，Rt AEB 中，| AE| .|AB|2 |BE|2 15答案： 156设 A(2,3,1)， B(4,1,2)， C(6,3,7)， D(5，4,8)，求 D 到平面 ABC 的距离解：设平面 ABC 的法向量 n( x， y， z)， n 0， n 0，AB AC Error!即Error! Error!令 z2，则 n(3,2，2)cos n ，AD 3 7 2 7 27
14、32 22 2 2 7 2 7 2 72点 D 到平面 ABC 的距离为d| |cos n | .AD AD 4917 4917178一、选择题1三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点 O，点 P 到三个平面的距离之比是123， PO2 ，则点 P 到这三个平面的距离分别是( )14A2,4,6 B4,8,12C3,6,9 D5,10,15解析：将 P 点到三个平面的距离 k,2k,3k 看作是一个长方体的长、宽、高，而 PO 为其对角线，则 PO2 k2(2 k)2(3 k)2，解得 k2， P 点到这三个面的距离分别是 2,4,6.答案：A2正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a
15、，设点 C 到平面 ABC1D1的距离为 d1， D 到平面ACD1的距离为 d2， BC 到平面 ADD1A1的距离为 d3，则有( )A d3d1d2 B d1d2d3C d1d3d2 D d2d1d3解析：易求 d1 a， d2 a， d3 a.22 33答案：D3已知直二面角 l ，点 A ， AC l ， C 为垂足， B ， BD l， D 为垂足，若 AB2， AC BD1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )A. B.23 33C. D163解析：设点 D 到平面 ABC 的距离等于 h.依题意得， AC ， AC BC，BC ， CD .AB2 AC2 3 BC2 BD2
16、 2由 VDABC VADBC得，S ABCh S DBCAC，13 13 h 1，13 (1213) 13 (1221)由此解得 h ，即点 D 到平面 ABC 的距离等于 .63 639答案：C4.如图，正方体的棱长为 1， C， D， M 分别为三条棱的中点， A， B 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是( )A. B.23 63C. D.13 66解析：设点 M 到 ABCD 的距离为 h，连接 AC， AM，作 CF AB，垂足为 F，连接 CM，则 VCABM VMABC，VCABM S ABMCM 1 ，13 13 14 112又 VMABC ABCFh h ，13
17、12 13 12 2 322 h4则由 ，得 h .h4 112 13答案：C二、填空题5 BAC 在平面 内， PA 是 的斜线，若 PAB PAC BAC60， PA a，则点 P 到 的距离为_解析：作 PO 于 O.由 PAB PAC，可知 AO 平分 BAC，作 OC AC 于 C，连接 PC，则 PC AC， PA a， AC a，12于是 AO a，ACcos 30 33 PO a.PA2 AO263答案： a636在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1到截面AB1D1的距离为_解析：如图所示，设 A1C1 B1D1 O1， B1D
18、1 A1O1， B1D1 AA1， B1D1平面 AA1O1，故平面 AA1O1平面 AB1D1，其交线为 AO1，10在平面 AA1O1内过点 A1作 A1H AO1于 H，则易知 A1H 的长即是点 A1到平面 AB1D1的距离在 Rt A1O1A 中， A1O1 ，2AO1 3 ，A1O21 AA21 2由 A1O1A1A A1HAO1，可得 A1H .43答案：437.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离为_解析：连接 A1D 交 AD1于 E.则 A1D AD1， A1D AB， A1D平面 AB
19、C1D1， A1E 为 A1到平面 ABC1D1的距离，A1E A1D ，12 22 O 为 A1C1的中点， O 到平面 ABC1D1的距离等于 A1E 的 ，12 d A1E .12 24答案：248已知平面 ，且它们之间的距离为 d，给出以下命题：若直线 a ，则 a 到 的距离也为 d；若直线 b ，且 b 到 的距离为 d，则 b ；若平面 l1， l2，则 l1与 l2间的距离的取值范围为 d，)；若平面 ， ，且 与 的距离为 d1， 与 的距离为 d2，则d1 d2 d.其中假命题有_(填写序号)解析： a ， 上任意一点即为 内的一点，它到平面 的距离就是 与 间的距离，故命
20、题为真命题；当平面 与直线 b 在平面 的两侧时，也可以有 b 且 b 与 的距离为 d，这时b ，故命题为假命题；当 与 相交时， l1与 l2间的距离为 d，而当 与 ， 相交且不垂直时，l1与 l2间的距离大于 d，由此可知命题是真命题；11当 平面夹在 与 之间时，有 d1 d2 d，但当 不夹在 与 之间时，d1 d2 d，故命题为假命题综上所述，假命题为.答案：三、解答题9正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， E， F， G 分别是 C1C， D1A1， AB 的中点，求点 A到平面 EFG 的距离解：如图，建立空间直角坐标系 D1xyz，则 A(2,0,2)， E(0,
21、2,1)，F(1,0,0)， G(2,1,2)，所以 (1，2，1)， (2，1,1)，EF EG (0，1,0)GA 设 n( x， y， z)是平面 EFG 的法向量，则由 n ， n ，得EF EG x2 y z0,2 x y z0，从而 x y，所以可取 n(1,1，1)，所以 在 n 上射影的GA 长度为 ，即点 A 到平面 EFG 的距离为 .| 1|3 33 3310正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4， M， N， E， F 分别为A1D1， A1B1， C1D1， B1C1的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离解：以 D 为原点， DA， DC， DD1所在直线为 x， y， z 轴建立直角坐标系，则 A(4,0,0)，M(2,0,4)， B(4,4,0)， E(0,2,4)， F(2,4,4)， N(4,2,4)，从而 (2,2,0)， (2,2,0)， (2,0,4)， (2,0,4)，EF MN AM BF ， ，EF MN AM BF EF MN， AM BF，平面 AMN平面 EFBD.设 n( x， y， z)是平面 EFBD 的法向量，从而 即Error!解得Error!取 z1，得 n(2，2,1)，由于 (0,4,0)，AB 所以 在 n 上的投影长度为 .AB 8312即平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离为 .83
