1、125 曲线与方程第一课时 曲线与方程读教材填要点曲线的方程、方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解建立了如下关系：点在曲线上点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线小问题大思维1如果曲线 C 的方程是 f(x， y)0，那么点 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？提示：若点 P 在曲线上，则 f(x0， y0)0；若 f(x0， y0)0，则点 P 在曲线 f(x， y)0 上，点
2、 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0， y0)0.2 “曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形曲线的方程与方程的曲线的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程| x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 x y0 之间的关系自主解答 (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程| x|2 的解；但以方程| x|2 的解为坐标
3、的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此，|x|2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5；但以方程 xy52的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x y0；反之，以方程x y0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 x y0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不
4、比解多” ，称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多” ，称为完备性注意 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程1命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A方程 f(x， y)0 的曲线是 CB方程 f(x， y)0 的曲线不一定是 CC f(x， y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析：“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解” ，但“以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A、C、D 都
5、不正确，B 正确答案：B用直接法求曲线方程已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等，求点 M 的轨迹方程自主解答 设动点 M 的坐标为( x， y)，且 M 到 x 轴的距离为 d，那么 M 属于集合 M|d| MF|由距离公式得| y| ， x 0 2 y 4 2整理得 x28 y160，即 y x22.18所求点 M 的轨迹方程是 y x22.18把本例中的“ x 轴”改为“直线 x4” ，求点 M 的轨迹方程解：设动点 M 的坐标为( x， y)，3则| x4| ， x 0 2 y 4 2整理得 x y2 y，18点 M 的轨迹方程为 x y.y28利用直接法求
6、轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出 x， y 之间的关系式，构成F(x， y)0，从而得出所求动点的轨迹方程要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点2已知两点 A(0,1)， B(1,0)，且| MA|2| MB|，求动点 M 的轨迹方程解：设点 M 的坐标为( x， y)，由两点间距离公式， 得|MA| ， x 0 2 y 1 2|MB| . x 1 2 y 0 2又| MA|2| MB|， 2 . x 0 2 y 1 2 x 1 2 y 0 2两边平方，并整理得 3x23 y22 y8 x30，即所求轨迹方程为 2 2 .(x43) (y 13) 89用定义法求曲线方程如图，在圆 C：( x1
7、) 2 y225 及点 A(1,0)，Q 为圆上一点， AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，求点 M 的轨迹方程自主解答 由垂直平分线性质可知| MQ| MA|，| CM| MA| CM| MQ| CQ|.| CM| MA|5. M 点轨迹为椭圆由椭圆的定义知： a ， c1，52 b2 a2 c2 1 .254 214所求轨迹方程为： 1.x2254y2214如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据4定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征3已知 B， C 是两个定点，| BC|6，且 ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程解：如图，建立直角坐标
8、系，使 x 轴经过点 B， C，原点 O 与 BC 的中点重合由已知| AB| AC| BC|16，| BC|6，| AB| AC|10| BC|6.即点 A 的轨迹是椭圆，且 2c6,2 a10. c3， a5， b2 a2 c225916.但当点 A 在直线 BC 上，即 y0 时， A， B， C 三点不能构成三角形点 A 的轨迹方程是 1( y0)x225 y216用相关点法求曲线方程已知圆 x2 y29，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP，点 M 在PP上，并且 2 ，求点 M 的轨迹PM MP 自主解答 设点 M 的坐标为( x， y)，点 P 的坐标为( x0， y
9、0)，则 x0 x， y03 y.因为 P(x0， y0)在圆 x2 y29 上，所以 x y 9.20 20将 x0 x， y03 y 代入，得 x29 y29，即 y21.x29所以点 M 的轨迹是一个椭圆若将“点 M 在 PP上，并且 2 ”改为“点 M 在直线 PP上，并且 PM MP P M 12( 0)” ，则 M 点的轨迹是什么？P P 解：设 M(x， y)， P(x0， y0)， PP x 轴，且| P M| |PP|，125 x x0， y y0，12即 x0 x， y02 y.点 P(x0， y0)在圆 x2 y29 上， x y 9.20 20把 x0 x， y02 y
10、 代入上式得， 1.x29 y294所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆此类题的解题步骤是先设出点 P 和 M 的坐标，根据条件写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系，然后用 M 点的坐标表示 P 点的坐标，并代入 P 点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程动点 M 与曲线上的点 P 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法4已知点 A 是椭圆 y21 上任意一点， O 为坐标原点，求线段 OA 的中点 P 的轨迹x22方程解：设 P(x， y)， A(x1， y1)， P 为 OA 中点， x ， y ，0 x12 0 y12 x12 x， y12 y
11、.又点 A 在椭圆上， y 1.x212 21 (2 y)21. 2x 22 1x212y214即为所求点 P 的轨迹方程解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试6如图，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1交 x 轴于 A， l2交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程解 法一：设 M(x， y)为所求轨迹上任一点， M 为 AB 中点， A(2x,0)， B(0,2y) l1 l2，且 l1， l2过点 P(2,4)， PA PB. kPAkPB1. kPA (x1)， kPB ，42 2x 4 2y2 1，即 x2 y50( x1)42 2x 4
12、 2y2当 x1 时， A(2,0)， B(0,4)此时 AB 中点 M 的坐标为(1,2)，它也满足方程 x2 y50，所求点 M 的轨迹方程为 x2 y50.法二：设 M(x， y)，则 A(2x,0)， B(0,2y)， l1 l2， PAB 为直角三角形，| PM| |AB|.12即 . x 2 2 y 4 212 4x2 4y2化简得 x2 y50，所求点 M 的轨迹方程为 x2 y50.1已知坐标满足方程 f(x， y)0 的点都在曲线 C 上，那么( )A曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f(x， y)0B凡坐标不适合 f(x， y)0 的点都不在 C 上C不在 C 上的点的坐标
13、必不适合 f(x， y)0D不在 C 上的点的坐标有些适合 f(x， y)0，有些不适合 f(x， y)0解析：设满足方程 f(x， y)0 的点组成的集合为 M，曲线 C 上的所有点组成集合 N，7由题意可知 MN.答案：C2下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )解析：对于 A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除 A；对于 B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除 B；对于 C，曲线上第三象限的点，由于 x0， y0，不满足方程，排除 C.答案：D3下列方程中与方程 x2 y0 表示同一曲线的是( )A| x| 0 B. 1yx2yC x2| y|0 D2ln
14、xln y0解析：根据曲线与方程的关系，若两个方程表示同一曲线，则其方程在形式上必须能统一，且其中的变量范围也必须一致本题中的方程 x2 y0 表示顶点在原点，且开口向上的抛物线C 项方程中， yR，即 y x2表示两条抛物线，A、B、D 三项中的方程都能化为 x2 y0.但在 B 项中 y0，它表示一条除去顶点的抛物线；D 项中有 x0， y0，它表示抛物线在 y 轴右侧部分答案：A4到点 F(2,0)和 y 轴的距离相等的点的轨迹方程是_解析：设 M(x， y)为轨迹上任意一点，则 | x|，( x2) 2 y2 x2. x 2 2 y2即 y24 x4.答案： y24( x1)5由动点
15、P 向圆 x2 y21 引两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B， APB60，则动点 P 的轨迹方程为_解析：易求| PO|2，故 P 点的轨迹方程为 x2 y24.答案： x2 y246已知线段 AB 与 CD 互相垂直且平分于点 O，且| AB|4，| CD|8，动点 P 满足|PA|PB| PC|PD|，求动点 P 的轨迹方程解：如图所示，分别以 CD， AB 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系则 O(0,0)， C(4,0)， D(4,0)， A(0，2)， B(0,2)8设动点 P(x， y)，则由| PA|PB| PC|PD|，得x2 y 2 2 x2 y 2 2
16、 . x 4 2 y2 x 4 2 y2化简，得 x2 y26.此为所求动点 P 的轨迹方程一、选择题1直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹方程是( )A| x| y|1 B| x y|1C| x| y|1 D| xy|1解析：设 M(x， y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点 M 到 x 轴的距离为| y|，到 y轴的距离为| x|.由题意知| x| y|1.答案：C2已知 M(2,0)， N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( )A x2 y22 B x2 y24C x2 y22( x ) D x2 y24( x2)2解析：设 P(x，
17、y)，因为 MPN 为以 MN 为斜边的直角三角形， MP2 NP2 MN2，( x2) 2 y2( x2) 2 y216.整理得， x2 y24. M， N， P 不共线， x2.轨迹方程为 x2 y24( x2)答案：D3已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A B4C8 D9解析：设 P(x， y)，代入| PA|2| PB|，得( x2) 2 y24( x1) 2 y2，即( x2)2 y24，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆所以点 P 的轨迹所围成的图形的9面积等于 4.答案：B4
18、已知 log2x，log 2y,2 成等差数列，则在平面直角坐标系中，点 M(x， y)的轨迹为( )解析：由 2log2y2log 2x，得 log2y2log 24x， y24 x(x0， y0)，即 y2 (x0)x答案：A二、填空题5方程 x22 y24 x8 y120 表示的图形为_解析：对方程左边配方得( x2) 22( y2) 20.( x2) 20,2( y2) 20，Error! 解得Error!从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)6在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x， y)满足 4，则OP OA 动点 P 的轨迹方程是_解
19、析：由 4 得 x1 y24，OP OA 因此所求轨迹方程为 x2 y40.答案： x2 y407.如图，在平面直角坐标系中，已知动点 P(x， y)， PM y 轴，垂足为M，点 N 与点 P 关于 x 轴对称且 4，则动点 P 的轨迹方程为OP MN _解析：由已知 M(0， y)， N(x， y)，则 ( x， y)(x，2 y)OP MN x22 y24，即 1.x24 y22答案： 1x24 y228已知 A(2,0)， B(1,2)，点 C 在直线 2x y30 上移动，则 ABC 重心 G 的轨迹10方程为_解析：设 G(x， y)， C(x， y) G 是 ABC 的重心，且
20、A(2,0)， B(1,2)，Error! Error!又 C(x， y)在直线 2x y30 上，2 x y30，即 2(3x1)(3 y2)30.化简得：6 x3 y70. A(2,0)， B(1,2)， C(3x1,3 y2)共线的条件是 ，3y 23x 3 2 3即 2x3 y40.解方程组Error!得Error!故方程中含有轨迹外的一个点 ，应去掉(34， 56)从而 ABC 的重心 G 的轨迹方程是6x3 y70 .(x34)答案：6 x3 y70 (x34)三、解答题9.如图，已知点 F(1,0)，直线 l： x1， P 为平面上的动点，过 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且
21、 .求动点 P 的轨迹 C 的方程QP QF FP FQ 解：设 P(x， y)，则 Q(1， y) ( x1,0)， (2， y)QP QF ( x1， y)， (2， y)FP FQ 由 ，得QP QF FP FQ 2(x1)0( y)2( x1) y2，整理得 y24 x.即动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24 x.10已知 ABC 中，三边 cba，且 a， b， c 成等差数列， b2，试求顶点 B 的轨迹方程解：如图，以 AC 所在的直线为 x 轴， AC 的垂直平分线所在直线11为 y 轴建立平面直角坐标系由于 b| AC|2，则 A 点坐标为(1,0)， C 点坐标为(1,0
22、)因为 a， b， c 成等差数列，所以 2b a c，即 4| BC| AB|.设 B 点坐标为( x， y)，则| AB| ， x 1 2 y2|BC| . x 1 2 y2所以 4 . x 1 2 y2 x 1 2 y2移项，两边平方并整理，得 4 x2 ， x 1 2 y2两边再平方，并整理，得 3x24 y212.方程两边同除以 12，得 1.x24 y23又 ca，即| AB|BC|，且 A， B， C 三点不共线，所以 00)、点 F 和直线 l(Fl)，设动点 P 到 F 的距离和到 l 的距离之比等于 e，则 P 的轨迹是圆锥曲线 F 是这条圆锥曲线的焦点， l 称为它的准线
23、当 e1 时是双曲线小问题大思维1中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 F1( c,0)， F2(c,0)对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别为 x ， x .a2c a2c2中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆与双曲线，与焦点 F1(0， c)， F2(0， c)对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别是 y ， y .a2c a2c12由曲线方程求焦点坐标和准线方程求下列曲线的焦点坐标和准线方程(1) 1；(2) 1；(3)4 y29 x236；x24 y23 x2122 y252(4)y22 x；(5) x24 y0.自主解答 (1)由方程知椭圆焦点在 x 轴上，
24、且 a24， b23，则 c a2 b2 1.4 3焦点坐标为(1,0)，(1,0)，准线方程为 x 4.a2c(2)由方程知双曲线焦点在 x 轴上，且 a212 2， b25 2，则 c 13.a2 b2焦点坐标为(13,0)，(13,0)，准线方程为 x .a2c 14413(3)将方程化为标准方程 1，它表示焦点在 y 轴上的双曲线，且y29 x24a29， b24，则 c .a2 b2 9 4 13焦点坐标为(0， )，(0， )，13 13准线方程为 y .a2c 913 91313(4)方程表示开口向左，顶点在原点，对称轴为 x 轴的抛物线，且 2p2， .p2 12焦点坐标为 ，
25、准线方程为 x .(12， 0) 12(5)将方程化为标准方程 x24 y，它表示开口向下，顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线，且 2p4， 1.p2焦点坐标为(0，1)，准线方程为 y1.(1)由圆锥曲线求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a， b， c 或 p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程(2)注意椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线131求下列曲线的焦点坐标和准线方程(1)2x2 y24；(2)3 x23 y22；(3) x23 y0.解：(1)将方程化为标准方程 1，它表示焦点在 y 轴上
26、的椭圆，且y24 x22a24， b22，则 c ，故焦点坐标为 (0， )，(0， )，准线方程a2 b2 4 2 2 2 2为 y 2 .a2c 42 2(2)将方程化为标准方程 1，它表示焦点在 x 轴上的双曲线，且x223y223a2 ， b2 ，则 c ，23 23 a2 b2 233故焦点坐标为 ， ，准线方程为 x .(233， 0) (233， 0) a2c23233 33(3)将方程化为标准方程 x23 y，它表示焦点在 y 轴的正半轴上的抛物线，2p3， .p2 34故焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，34) 34求圆锥曲线的方程已知椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点
27、，焦距为 2，一条准线方程为y5，求椭圆的标准方程自主解答 依题意，设所求椭圆的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2则Error! 解得 a25， b24.椭圆的标准方程为 1.y25 x24解决圆锥曲线问题的一般步骤是：一定曲线种类，二定曲线的焦点位置，三定标准方程的形式，四定对应参数值，即定类、定位、定形、定参142已知双曲线的渐近线方程为 3x4y0，一条准线的方程为 5y3 0，求此双曲3线的方程解：由双曲线的准线方程为 y ，渐近线方程为 3x4y0，可设双曲线标准方335程为 1.y2a2 x2b2依题意，有Error!设 a3 k， b4 k，则 c5 k.代入得 a ，
28、 b .3433所求双曲线方程为 1.y23 3x216圆锥曲线统一定义的应用椭圆 1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 10，求点 P 到椭圆x2100 y236的右焦点的距离自主解答 椭圆 1 中， a2100， b236，x2100 y236则 a10， c 8，a2 b2 100 36离心率为 e .45根据圆锥曲线的统一定义得，点 P 到椭圆的左焦点的距离为 10e8.再根据椭圆的定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20812.解决此类圆锥曲线上的点到焦点和准线的距离问题的一般思路是利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线
29、上点到两个不同焦点距离之间的转化来解决3设椭圆 1( m1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，x2m2 y2m2 1求 P 到右准线的距离解：由椭圆的定义知，2 m314，又 m1， m2.椭圆方程为 1，x24 y2315 c 1， e .a2 b2ca 12设点 P 到右准线的距离等于 d，由圆锥曲线的统一定义得 ， d2.即点 P 到右准1d 12线的距离等于 2.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆 1 内有一点 P(1，1)， F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点 M，使x25 y24MP MF 的值最小5巧思 题设中 F 是椭圆的
30、右焦点， 是椭圆的离心率的倒数，由圆锥曲线的统一定5义可知： MF 就是椭圆上 P 点到相应准线的距离，观察图形，便可解决问题 .5妙解 由椭圆方程 1，知 a ， b2， c1， e .x25 y24 5 15设点 M 在右准线 l 上的射影为 M1，根据圆锥曲线的统一定义，得 ，MFMM1 15即 MF MM1，5 MP MF MP MM1，5观察图形可知，当 P， M， M1三点共线时， MP MM1的值最小，即 MP MF 的值最小5于是，过点 P 作准线 l 的垂线 y1，由Error! 解得 M .(152， 1)1 “双曲线的方程为 1”是“双曲线的准线方程为 x ”的( )x2
31、9 y216 95A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：令双曲线的方程为 1 为，双曲线的准线方程为 x 为，则有x29 y216 95，但 .答案：A162以双曲线 x2 y22 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是( )A x2 y24 x30 B x2 y24 x30C x2 y24 x50 D x2 y24 x50解析：易知右焦点为 F(2,0)，右准线 x 1， r1.a2c即圆的方程为( x2) 2 y21.答案：B3椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为( )A. B.32 33C. D.63 66解析：两焦点间的距离为
32、 2c，两准线间的距离为 ，依题意有2a2c2c ， a23 c2.13 2a2c e .ca 33答案：B4曲线 25x29 y2225 的准线方程为_解析：由 25x29 y2225，得 1，x29 y225 a5， b3， c4. .a2c 254准线方程为 y .254答案： y2545若双曲线 y21( m0)上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则x2m 13m_.解析：由题意知双曲线的离心率为 3，则 3，ca m 1m解得 m .1817答案：186判断下列各动点的轨迹表示的曲线是否为圆锥曲线；若是，是哪一种圆锥曲线(1)定点 F，定直线为 l， Fl，动点 M 到定点 F
33、的距离 MF 与该点到定直线 l 的距离 d的比为 2；(2)定点 F，定直线为 l， Fl，动点 M 到定直线 l 的距离 d 与动点 M 到定点 F 的距离MF 的比为 5；(3)到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹；(4)定点 F 不在定直线 l 上，到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离的比大于 1 的点的轨迹解：(1) 21，动点的轨迹是双曲线|MF|d(2) 5， ，动点的轨迹是椭圆d|MF| |MF|d 15(3)当 F l 时，动点的轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线；当 Fl 时，动点的轨迹是抛物线(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比大于 1 不一定是常数，动点的
34、轨迹是一个平面区域一、选择题1如果双曲线 1 右支上一点 P 到它的右焦点的距离等于 2，则点 P 到左准线x216 y29的距离为( )A. B.245 6910C8 D10解析：设左、右焦点分别为 F1， F2，则由双曲线定义| PF1| PF2|2 a8，且点 P在右支上，可求得| PF1|10.设 P 到左准线的距离为 d，则由统一定义知 ， d8.10d ca 54答案：C2椭圆 1 的准线平行于 y 轴，则实数 m 的取值范围为( )x2m2 y2 m 1 218A. B(1，)(12， )C. D. (1，)(12， 1) (12， 1)解析：由题意知Error!解得 m ，且
35、m1.12答案：D3已知椭圆 C： y21 的右焦点为 F，右准线为 l，点 A l，线段 AF 交椭圆 C 于x22点 B.若 3 ，则| |( )FA FB AF A2 B. 2C. D. 3 3 2解析：过点 B 作 BM l 于 M，并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N，易知 e ， FN1.由22题意 3 ，故 BM FN .FA FB 23 23又由圆锥曲线的统一定义，得 BF ，22 23 23| | .AF 2答案：B4已知双曲线的中心在原点，离心率为 ，若它的一条准线与抛物线 y24 x 的准线3重合，则该双曲线与抛物线 y24 x 的交点到原点的距离是( )A2 B.3
36、6 21C1812 D212解析：设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则 1， ，解得 a ， c3， b2 c2 a26，a2c ca 3 3双曲线方程为 1.x23 y26联立双曲线与抛物线方程解得它们的交点为 P(3，2 )，3P 到原点的距离为| OP| .32 23 2 21答案：B二、填空题5设 1是抛物线 y22 px(p0)与椭圆 ax2 by21( ab0)的离心率的比值， 2是19双曲线 ax2 by21 上一点到左准线与左焦点的距离之比，则 _1(填“” “” 1 2或“1. 1 2答案：6已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，右准线方程
37、为 x ，则双曲x2a2 y2b2 3 33线 C 的方程为_解析：由题意得Error!解得Error!故 b2 c2 a22.所以双曲线 C 的方程为 x2 1.y22答案： x2 1y227已知双曲线 1 的准线经过椭圆 1( b0)的焦点，则 b_.x22 y22 x24 y2b2解析：由已知可得双曲线的准线为 x 1，因为椭圆焦点为( ，0)，a2c 4 b2所以 1，即 b23，故 b .4 b2 3答案： 38已知椭圆 y21( a0)的一条准线与抛物线 y210 x 的准线重合，则椭圆的离x2a2心率为_解析：抛物线 y210 x 的准线方程是 x ，52由题意知椭圆 y21 的
38、一条准线方程为 x ，x2a2 52即右准线方程为 x ，故 ， a2 c，52 a2c 52 52 b1， c21 c，解得 c12， c2 .52 12当 c2 时， a2 c5， a ， e ；52 5 255当 c 时， a2 c ， a ， e .12 52 54 52 55答案： 或255 5520三、解答题9已知椭圆 1 上有一点 P，它到左、右焦点距离之比为 13，求点 P 到两x2100 y236准线的距离解：设 P(x， y)，左、右焦点分别为 F1， F2，由已知的椭圆方程可得a10， b6， c8， e ，则 PF1 PF22 a20.ca 45又 3PF1 PF2，
39、PF15， PF215.设点 P 到两准线的距离分别为 d1， d2，可得 d1 ， d2 .PF1e 254 PF2e 754故点 P 到两准线的距离分别为 ， .254 75410双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ， F1， F2分别为左、右焦点，点 M 为左x2a2 y2b2 52准线与渐近线在第二象限内的交点，且 .求双曲线的方程F1M F2M 14解：根据题设条件， F1( c,0)， F2(c,0)，设点 M(x， y)，则 x， y 满足Error!因为 e ，ca 52则 M ，( 2a5， 2b5)故 F1M F2M ( 2a5 c， 2b5) ( 2a5 c， 2b5)a2 c2 b2 ，45 45 14又 a2 b2 c2，得 c2 ，于是 a21， b2 ，54 14因此，所求双曲线的方程为 x24 y21.21
