1、111.3 充分条件和必要条件读教材填要点充分条件与必要条件命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题“若 p，则 q”和“若q，则 p”都是真命题推出关系 pq p q pq条件关系p是 q的 充分条件 q是 p的必要条件p不是 q的充分条件 q不是 p的必要条件p是 q的充分必要条件，p和 q称为互相等价小问题大思维1如果 p是 q的充分条件，则 p是唯一的吗？提示：不唯一，如 x3是 x0的充分条件， x5， x10等都是 x0的充分条件2若“ x A”是“ x B”的充要条件，则 A与 B的关系怎样？提示： A B.3 p是 q的充要条件， q是 s的充要条件，
2、p是 s的充要条件吗？提示：是 p是 q的充要条件， pq.又 q是 s的充要条件， qs.故 ps，即p是 s的充要条件充分条件、必要条件的理解下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p是 q的充分条件：(1)若 x1，则 x24 x30；(2)若 f(x) x，则 f(x)在(，)上为增函数；(3)若 x为无理数，则 x2为无理数；(4)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等自主解答 (1)当 x1 时， x24 x31430，因此命题是真命题，即 pq，故 p是 q的充分条件(2)易知函数 f(x) x在(，)上是增函数，因此命题是真命题，即 pq，故2p是 q的充分条件(3)
3、当 x 时， x2( )22 不是无理数，因此命题是假命题，即 p q，故 p不是2 2q的充分条件(4)两条垂直于 x轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即 p q，故 p不是 q的充分条件p是 q的充分条件是由命题“若 p，则 q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若 p，则 q”为真，则 p是 q的充分条件， q是 p的必要条件；若命题“若 p，则 q”为假，则 p不是 q的充分条件， q不是 p的必要条件1下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q是 p的必要条件？(1)若 b2 ac，则 a， b， c成等比数列；(2)若有且只有一
4、个实数 ，使 a b ，则 a b；(3)若 l ，则直线 l与平面 所成角大小为 0；(4)若函数 f(x) ax(a0 且 a1)，则 f(x)是单调增函数解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题(2)(3)中的 q是 p的必要条件充分条件与必要条件的判断(1)(2017天津高考)设 xR，则“2 x0”是“| x1|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017北京高考)设 m， n为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“mn0.方程一定有两不等实根设为 x1， x2，则 x1x2 y，求证： 0.1x1y
5、证明：(1)必要性：由 y，得 y x0.(2)充分性：由 xy0及 xy，得 ，即 0.1x1y解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知 p：2 x10， q： x22 x1 m20( m0)，若 p是 q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围巧思 先求不等式的解集，然后根据充分条件以及必要条件的意义，将命题间的关系转化为集合间的关系即可求解妙解 p：2 x10.q： x22 x1 m20 x(1 m)x(1 m)0( m0)1 m x1 m(m0)q是 p的充分不必要条件，即 x|1 m x1 m x|2 x10故有Error! 或Error!解得 m3.又 m0，所
6、以实数 m的取值范围为(0,31 “x1”是“ x22 x10”的( )6A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分又不必要条件解析：因为 x22 x10 有两个相等的实数根，为 x1，所以“ x1”是“x22 x10”的充要条件答案：A2设集合 A xR| x20， B xR| x0， C xR| x(x2)0，则“x A B”是“ x C”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析： A B xR| x0 或 x2，C xR| x0 或 x2， A B C， x A B是 x C的充分必要条件答案：C3设 a， b是实数，则“ a
7、 b0”是“ ab0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：特值法：当 a10， b1 时， a b0， ab0，故 a b0 ab0；当a2， b1 时， ab0，但 a b0，所以 ab0 a b0.故“ a b0”是“ab0”的既不充分又不必要条件答案：D4 “a和 b都是偶数”是“ a b是偶数”的_条件解析： a和 b都是偶数 a b是偶数；a b是偶数 a和 b都是偶数答案：充分不必要5设 ， ， 为平面， m， n， l为直线，则对于下列条件： ， l， m l； m， ， ； ， ， m ； n ， n ， m .7其中为 m 的充分
8、条件的是_(将你认为正确的所有序号都填上)解析：由线面垂直的判定定理可知，为 m 的充分条件答案：6如果 p： x(x3)1”是“| x|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析： x1|x|1，而| x|1x1或 x1”是“| x|1”的充分而不必要条件答案：A2设 a， b为实数，则“0 ab1”是“ b ”的( )1aA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：一方面，若 0 ab1，则当 a0 时，0 b ，1a b 不成立；另一方面，若 b ，则当 a0 时， ab1，1a 1a0 ab1 不成立，故选
9、 D.答案：D3方程“ ax22 x10 至少有一个正实根”的充要条件是( )8A1 a1C a1 D1 a0解析： a0 时，方程 ax22 x10 有一正根，排除 A、D 两项； a1 时，方程化为 x22 x10，即( x1) 20， x10.答案：C4使| x| x成立的一个必要不充分条件是( )A x0 B x2 xClog 2(x1)0 D2 xa，若 p是 q的充分不必要条件，则 a的取值范围是_解析： p： x1，若 p是 q的充分不必要条件，则 pq，但 q p，也就是说， p对应集合是 q对应集合的真子集，所以 a2且 y3”是“ x y5”的充要条件； b24 ac2且
10、y3时， x y5成立，反之不一定，如 x0， y6.所以“ x2且y3”是“ x y5”的充分不必要条件；9不等式解集为 R的充要条件是 a0， y0.所以“lg xlg y0”成立， xy1 必成立，反之不然因此“ xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：8已知“10，解得1b2” 是“ ab”的必要条件；(3)直线 l1： ax y3， l2： x by c0，则“ ab1”是 l1 l2的必要条件；(4)条件 p： b0，条件 q：函数 f(x) ax2 bx c是偶函数，则 q是 p的充分条件解：(1)Error! m ，(反例： m可能与 平行)，“ ”不是“ m ”的充分条件(2) ab a2b2，(反例：02 但 02b2”不是“ ab”的必要条件(3) l1 l2， l1的斜率为 a， l2的斜率存在且与 l1的斜率相等 a，1b10 ab1.即“ l1 l2”ab1，“ ab1”是“ l1 l2”的必要条件(4) f(x) ax2 bx c为偶函数，由 f( x) f(x)得 b0. q是 p的充分条件10是否存在实数 p，使 4x p0 的充分条件？如果存在，求出 p的取值范围；否则，说明理由解：由 x2 x20，解得 x2或 x2或 x0，p4所以 p的取值范围为4，)
