1、1第二章 平面向量测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.以下说法中不正确的是( )A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析 只有 C 是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况 .答案 C2.已知集合 M=a|a=(1,2)+ (3,4), R, N=a|a=(-2,-2)+ (4,5), R,则 M N 等于( )A.(1,1) B.(1,1),(-2,-2)C.(-2,-2) D.解析 设 a=(x,y),对于 M,(x,y)=(1,2)+ (3,4
2、),(x-1,y-2)= (3,4),. x-1=3 ,y-2=4 , x-13 =y-24对于 N,(x,y)=(-2,-2)+ (4,5),(x+2,y+2)= (4,5), . x+2=4 ,y+2=5 , x+24 =y+25由 解得 x=-2,y=-2,故 M N=(-2,-2).答案 C3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( )A.- a+ b B. a- b12 32 12 32C. a- b D.- a+ b32 12 32 12解析 设 c=xa+yb,因此, x+y= -1,x-y=2, 解得 因此,c = a- b.x=12,y=
3、-32, 12 32答案 B4.(2018 全国 高考)已知向量 a,b 满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0解析 a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案 B5.设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则 |a+b|=( )A. B. C.2 D.105 10 5解析 由 ac 得 ac=2x-4=0,所以 x=2,由 bc 得 1(-4)=2y,所以 y=-2,于是 a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),从而 |a+b|= .10答案 B6.在 ABC 中,已知 D
4、 是 AB 边上一点,若 =2 + ,则 = ( )ADDB,CD=13CA CBA. B. C.- D.-23 13 13 23解析 =2 , =2 =2( ),即得 ,由已知条件ADDB CD-CA=AD=23ABDB CB-CD CD=13CA+23CB+ 可得 = .CD=13CA CB 23答案 A27.(2018 全国 高考)在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 =( )EBA. B.34AB-14AC 14AB-34ACC. D.34AB+14AC 14AB+34AC解析 如图, =-EBBE=- )12(BA+BD=12AB-14BC= )=
5、 .12AB-14(AC-AB34AB-14AC答案 A8.在 ABC 中, ACB=90,且 CA=CB=3,点 M 满足 =2 ,则 =( )BMMA CMCBA.2 B.3 C.4 D.6解析如图, CM=CA+AM=CA+13AB= )CA+13(CB-CA= ,23CA+13CB |2CMCB=23CACB+13|CB= 0+ 32=3.23 13答案 B9.若非零向量 a,b 满足 |a|= |b|,且(a -b)(3a +2b),则 a 与 b 的夹角为( )223A. B. C. D. 4 2 34解析 由(a -b)(3a +2b)知(a -b)(3a+2b)=0,即 3|a
6、|2-ab-2|b|2=0.设 a 与 b 的夹角为 ,所以3|a|2-|a|b|cos- 2|b|2=0,即 3 |b|2cos- 2|b|2=0,整理,得 cos= ,故 = .(223|b|)2-223 22 4答案 A10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),点 C 在第二象限内, AOC= ,且 | |=2,若56 OC= + ,则 , 的值是( )OC OA OBA. ,1 B.1, C.-1, D.- ,13 3 3 3解析 根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可 .答案 D11.若点 O 为平面内任意一点,且( -2 )( )=0,则 ABC
7、是( )OB+OCOA AB-ACA.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形3D.直角三角形但不一定是等腰三角形解析 由( -2 )( )=0 得( )( )=0, =0,即 | |=| |.OB+OCOA AB-AC AB+AC AB-AC AB2-AC2 AB ACAB=AC , ABC 是等腰三角形 .由题意不能判定 ABC 为直角三角形 .答案 C12.设 a,b 为非零向量, |b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 .若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取
8、值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.023 3 6解析 设 S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,若 S 的表达式中有 0 个 ab,则 S=2a2+2b2,记为 S1;若 S 的表达式中有 2 个 ab,则 S=a2+b2+2ab,记为 S2;若 S 的表达式中有 4 个 ab,则 S=4ab,记为 S3.又 |b|=2|a|,所以 S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)20,S1-S2=a2+b2-2ab=(a-b)20,S2-S3=(a-b)20,所以 S3S2S1,故 Smin=S3=4ab.设 a,b 的夹角为 ,则 Smi
9、n=4ab=8|a|2cos= 4|a|2,即cos= ,又 0,所以 = .12 3答案 B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知向量 a,b 夹角为 45,且 |a|=1,|2a-b|= ,则 |b|= . 10解析 由 |2a-b|= 可得,4 |a|2-4ab+|b|2=10,所以 4-41|b|cos45+|b|2=10,10即 |b|2-2 |b|-6=0,解得 |b|=3 .2 2答案 3 214.已知点 A(7,1),B(1,a),若直线 y=x 与线段 AB 交于点 C,且 =2 ,则实数 a= . ACCB解析 根据题意,设 C(x,x),
10、由 A(7,1),B(1,a),得=(x-7,x-1), =(1-x,a-x).AC CB又 =2 , (x-7,x-1)=2(1-x,a-x),ACCB 解得 x=3,a=4,x-7=2-2x,x-1=2a-2x, 实数 a 的值为 4.答案 415.函数 y=tan 的部分图像如下图所示,则( ) = . ( 4x- 2) OB-OA OB解析 依题意知 A(2,0),B(3,1), =(3,1), =(2,0), =(1,1), ( ) =4.OB OA OB-OA OB-OA OB答案 416.如图,在 ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 ( )的最小值是
11、. OA OB+OC解析 如题中图,设 =a,则 |a|=2.MA因为 O 为中线 AM 上的动点,所以 =t =ta(0 t1),MOMA4故 =(1-t)a.OA=MA-MO因为 M 是 BC 的中点,所以 =2 =-2ta.OB+OCOM所以 ( )=(1-t)a(-2ta)OA OB+OC=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8 -2.(t-12)2所以,当 t= 0,1时,最小值为 -2.12答案 -2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(10 分)如图,在平行四边形 OADB 中,设 =a, =b, .试用 a,b 表示 .OA OB BM=13BC,CN=13
12、CD OM,ON及 MN解 由题意知,在平行四边形 OADB 中, )= (a-b)= a- b,BM=13BC=16BA=16(OA-OB16 16 16则 =b+ a- b= a+ b.OM=OB+BM16 16 16 56)= (a+b),ON=23OD=23(OA+OB23则 (a+b)- a- b= a- b.MN=ON-OM=23 16 56 12 1618.(12 分)已知非零向量 a,b 满足 |a|=1,且(a -b)(a+b)= .12(1)求 |b|;(2)当 ab= 时,求向量 a 与 b 的夹角 的值 .12解 (1)因为(a -b)(a+b)= ,即 a2-b2=
13、.12 12所以 |b|2=|a|2- =1- ,故 |b|= .12 12=12 22(2)因为 cos= ,ab|a|b|= 22又 0 180,故 = 45.19.(12 分)已知向量 a,b 不共线 .(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证: A,B,D 三点共线 .AB BC CD(2)求实数 k,使 ka+b 与 2a+kb 共线 .(1)证明 因为 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),AB BC CD所以 =5a+5b=5 ,BD=BC+CD AB因此 共线 .AB与 BD又点 B 为 的公共点,AB与 BD所以 A,B,D 三点共线 .(2)解 因为
14、 ka+b 与 2a+kb 共线,则存在实数 使 ka+b= (2a+kb),所以 所以 k= .k=2 ,1=k , 220. 导学号 93774086(12 分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系, x 轴正方向指向东, y 轴正方向指向北 .一个单位长度表示实际路程 100 米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6 分时路过少年宫 C,10 分后到达科技馆 B(-3,5).(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示) .(2)求少年宫 C 点相对于广场中心所在的位置 .(提示: tan182613)5解 (1)依题意知
15、 =(-3,5)-(2,0)=(-5,5).AB| |= =5 , xAB=135.所以此人沿北偏西 45方向走了 500 米 .AB (-5)2+52 2 2因为 t= 时,所走的实际距离 s=| |100=500 (米),16 AB 2所以 |v|= =3000 (米 /时) =30 (百米 /时),st 2 2所以 |v|cos135=-30,|v|sin135=30,所以 v=(-30,30).(2)因为 ,AC=610AB=35AB=(2,0)+ (-5,5)=(-1,3),OC=OA+AC35所以 | |= ,又 tan COy= ,OC 1013所以 COy=1826,即少年宫
16、C 位于距离广场中心 100 米,且在北偏西 1826处 .1021.(12 分)如图所示,在平面斜坐标系 xOy 中, xOy=60,平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 =xe1+ye2(其中 e1,e2分别为 x 轴、 y 轴同方向的单位向量),则点 P 的斜坐标为( x,y).OP(1)若点 P 在斜坐标系 xOy 中的斜坐标为(2, -2),求点 P 到原点 O 的距离 .(2)求以原点 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程 .解 (1)因为点 P 的斜坐标为(2, -2),所以 =2e1-2e2,OP所以 | |2=(2e1-2e2)2=4 -
17、8e1e2+4 =8-811cos60=8-4=4,所以 | |=2,即点 P 到原OP e21 e22 OP点 O 的距离为 2.(2)设圆上动点 M 的斜坐标为( x,y),则 =xe1+ye2,所以( xe1+ye2)2=1,OM则 x2 +2xye1e2+y2 =1,即 x2+y2+xy=1,e21 e22故所求圆的方程为 x2+y2+xy=1.22. 导学号 93774088(12 分)设 ABC,P0是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于边 AB14上任一点 P,恒有 ,求证: AC=BC.PBPC P0BP0C证明 设 =t (0 t1),PBAB =t ,PC=PB+BCAB+BC =(t )(t )=t2 +t .由题意 ,PBPC AB AB+BC AB2 ABBC PBPC P0BP0C即 t2 +tAB2 ABBC14AB(14AB+BC)= ,(14)2AB2+14ABBC即当 t= 取得最小值 .14时 PBPC由二次函数的性质可知 - ,ABBC2AB2=146即 - ,ABBC=12AB2 =0.AB(12AB+BC)取 AB 中点 M,则 ,12AB+BC=MB+BC=MC =0,即 AB MC.AC=BC.ABMC
