1、高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题,-2-,从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.,-3-,1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线
2、方程为f(x,y)=0.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). 若a0,设=b2-4ac. 当0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; 当=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当0时,直线和圆锥曲线没有公共点.,-4-,-5-,4.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算,就是利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0
3、),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0). (3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB0时,表示双曲线. 5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.,-6-,6.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、
4、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 7.点在圆锥曲线内部或外部的充要条件,-7-,题型一,题型二,题型三,突破1 直线与圆及圆锥曲线 题型一 求轨迹方程 突破策略一 直接法 例1(2017湖南长沙一模)已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径. (1)求点C轨迹E的方程; (2)当AC不在坐标轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线在点P处的切线与直线BC交于点Q,求证:PQC恒为直角三角形.,-8-,题型一,题型二,题型
5、三,-9-,题型一,题型二,题型三,-10-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)利用AC是直径,所以BABC,或C,B均在坐标原点,由此求点C轨迹E的方程. (2)设直线AC的方程为y=kx+2,由 得x2-8kx-16=0,利用根与系数的关系及导数的几何意义,证明QCPQ,即可证明结论.,解题心得若动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,则设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.,-11-,题型一,题型二,题型三,对点训练1已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
6、(1)求点M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,解: (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 因为点P在圆C的内部, 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,-12-,题型一,题型二,题型三,-13-,题型一,题型二,题型三,突破策略二 相关点法(1)求曲线C的方程; (2)若动直线l2:y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点,过F1(-1,0),F2(1,0)两点分别作F1Pl2,F2Ql2,垂足分别为P,Q,且记d1为点
7、F1到直线l2的距离,d2为点F2到直线l2的距离,d3为点P到点Q的距离,试探索(d1+d2)d3是否存在最值?若存在,请求出最值.,-14-,题型一,题型二,题型三,-15-,题型一,题型二,题型三,-16-,题型一,题型二,题型三,-17-,题型一,题型二,题型三,-18-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)设圆C1:x2+y2=R2,根据圆C1与直线l1相切,求出圆的方程为x2+y2=12,由此利用相关点法能求出曲线C的方程. (2)将直线l2:y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、根与系数的关系、
8、直线方程、椭圆性质、弦长公式,结合已知条件能求出(d1+d2)d3存在最大值,并能求出最大值.,解题心得若动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把点Q的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.,-19-,题型一,题型二,题型三,(1)求曲线C的方程; (2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点,求OPQ面积的最大值.,-20-,题型一,题型二,题型三,-21-,题型一,题型二,题型三,-22-,题型一,题型二,题型三,突破策略三 定义法 例3已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(
9、x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.,-23-,题型一,题型二,题型三,解: 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1. 圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-
10、|PN|=2R-22, 所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.,-24-,题型一,题型二,题型三,-25-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)将圆的位置关系转化为圆心连线的关系,从而利用椭圆的定义求出轨迹方程. (2)在三个圆心构成的三角形中,由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2,此时动圆圆心在x轴上,由直线l与圆P,圆M都相切构成相似三角形,由相似比得直线l在x轴上的截距,利用直线l与圆M相切得直线l的斜率,联立直线与曲线C的方程,由弦长公式求出|AB|. 解题心得1.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出
11、相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程. 2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.,-26-,题型一,题型二,题型三,对点训练3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过点B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.,(1)证明: 因为|AD|=|AC|,EBAC, 故
12、EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,-27-,题型一,题型二,题型三,-28-,题型一,题型二,题型三,-29-,题型一,题型二,题型三,题型二 直线和圆的综合 突破策略 几何法 例4(2017全国,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的
13、方程.,-30-,题型一,题型二,题型三,-31-,题型一,题型二,题型三,-32-,题型一,题型二,题型三,-33-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)因为圆M是以AB为直径的圆,所以要证原点O在圆M上只需证OAOBkOAkOB=-1; (2)联立直线与抛物线的方程线段AB中点坐标圆心M的坐标(含参数)r=|OM|;圆M过点P(4,-2) =0参数的值直线l与圆M的方程. 解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-34-,题型一,题型二,题型三,对点训练4
14、已知圆O:x2+y2=4,点A( ,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.,-35-,题型一,题型二,题型三,解: (1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+ |AB|,即|AB|+2|OM|=4. 取点A关于y轴的对称点A,连接AB,则|AB|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4. 所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.,-36-,题型一,题型二
15、,题型三,-37-,题型一,题型二,题型三,题型三 直线与圆锥曲线的综合 突破策略 判别式法 例5在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: (ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,-38-,题型一,题型二,题型三,-39-,题型一,题型二,题型三,-40-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)由焦点坐标知c=1,由点P在椭圆上知b,从而求得椭圆方程. (2)求直线方程即求直线方程中的斜率k,截距m,由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切,联立两个方程组,由判别式等于0得
16、出关于k,m的两个方程,解之得直线方程. 解题心得1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,若二次项系数为0,则方程为一次方程;若二次项系数不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,-41-,题型一,题型二,题型三,(1)求椭圆C的方程; (2)如图,若斜率为k(k0)的直线l与x轴、椭圆C相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右侧),且NF2F1=MF2A.求证:直线l恒过定点,并求出斜率k的取值范围.,-42-,题型一,题型
17、二,题型三,-43-,题型一,题型二,题型三,-44-,题型一,题型二,题型三,突破2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 题型一 圆锥曲线中的最值问题 突破策略 函数最值法,(1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,-45-,题型一,题型二,题型三,-46-,题型一,题型二,题型三,-47-,题型一,题型二,题型三,(2)以AP斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ的方程用k表示出点Q的横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|PQ|是关于k的函数,用函数求最值的方法求出最大值. 解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形
18、的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.,-48-,题型一,题型二,题型三,对点训练1(2017福建厦门二模,理20)在平面直角坐标系xOy中,ABC的周长为12,AB,AC边的中点分别为F1(-1,0)和F2(1,0),点M为BC边的中点. (1)求点M的轨迹方程; (2)设点M的轨迹为曲线T,直线MF1与曲线T另一个交点为N,线段MF2中点为E,-49-,题型一,题型二,题型三,-50-,题型一,题型二,题型三,-51-,题型一,题型二,题型三,题型二 圆锥曲线中的范围问题(多维探究) 突破策略一 条件转化法(1
19、)求椭圆E的方程; (2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.,-52-,题型一,题型二,题型三,-53-,题型一,题型二,题型三,-54-,题型一,题型二,题型三,-55-,题型一,题型二,题型三,解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.,-56-,题型一,题型二,题型三,对点训练2如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成MAB,且MBA=2MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程; (2)设直线y=-2x+m与y轴相交于
20、点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|PR|,-57-,题型一,题型二,题型三,解: (1)设M的坐标为(x,y),显然有x0,且y0. 当MBA=90时,点M的坐标为(2,3). 当MBA90时,x2,由MBA=2MAB,有化简可得,3x2-y2-3=0. 而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上, 综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x1).,-58-,题型一,题型二,题型三,-59-,题型一,题型二,题型三,-60-,题型一,题型二,题型三,-61-,题型一,题型二,题型三,-62-,题型一,题型二,题型三,-63-,题型一,题型二,题型三,解题心得在求直线与圆锥曲线的综合
21、问题中,求与直线或与圆锥曲线有关的某个量d的取值范围问题,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的取值范围问题,然后利用函数的方法或解不等式的方法求出d的取值范围.,-64-,题型一,题型二,题型三,-65-,题型一,题型二,题型三,-66-,题型一,题型二,题型三,-67-,题型一,题型二,题型三,-68-,题型一,题型二,题型三,题型三 圆锥曲线中的证明问题 突破策略 转化法 例4已知A是椭圆E: 的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA. (1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: k2.,-69-,题
22、型一,题型二,题型三,-70-,题型一,题型二,题型三,-71-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)A是椭圆的左顶点及MANAAM的倾斜角为 AM的方程再代入椭圆方程yMAMN的面积. (2)MANAkMAkNA=-1用k表示出两条直线方程,分别与椭圆联立,用k表示出|AM|与|AN|,2|AM|=|AN|f(k)=0k是函数f(t)的零点,对f(t)求导确定f(t)在(0,+)内单调递增,再由零点存在性定理求出k的取值范围. 解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化
23、为另一问题.,-72-,题型一,题型二,题型三,(1)求椭圆C的标准方程; (2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过点P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.,-73-,题型一,题型二,题型三,-74-,题型一,题型二,题型三,-75-,题型一,题型二,题型三,突破3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题题型一 圆锥曲线中的定点问题(多维探究) 突破策略一 直接法(1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G,H,M,N,且E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.,
24、-76-,题型一,题型二,题型三,-77-,题型一,题型二,题型三,-78-,题型一,题型二,题型三,-79-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)设动点坐标P(x,y),依据题设条件且 建立关于动点坐标的方程,从而使得问题获解. (2)充分借助题设条件,先设出两互相垂直的直线的方程,再与抛物线方程联立,借助坐标之间的关系求出直线E1E2的方程,若直线E1E2的方程形如f(x,y)+g(x,y)=0的形式,解方程组 得定点.,-80-,题型一,题型二,题型三,(1)求椭圆C的方程; (2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(0r1)的两条切线分别与椭圆C相交于点B,D(不同于点A).当
25、r变化时,试问直线BD是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.,-81-,题型一,题型二,题型三,-82-,题型一,题型二,题型三,-83-,题型一,题型二,题型三,-84-,题型一,题型二,题型三,-85-,题型一,题型二,题型三,解题心得证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知),可把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论,则证明了直线或曲线过定点.,-86-,题型一,题型二,题型三,-87-,题型一,题型二,题型三,-88-,题型一,题型二,题型三,-89-,题型一,题型二,题型三,-90-,题型一,题型二,题型三,题型二 圆锥曲线中的定值问题 突破策略 直
26、接法 例3在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,-91-,题型一,题型二,题型三,-92-,题型一,题型二,题型三,-93-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)先假设能出现ACBC,然后验证直线AC,BC的斜率之积是否为-1,从而得结论. (2)设A(x1,0),B(x2,0),点C的坐标已知,由A,B,C三点AB,BC的中垂线方程圆心坐标及圆半径圆在y轴上的弦长. 解题心得证明某一量为定值,一般方法是用一个
27、参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值,从而得证.,-94-,题型一,题型二,题型三,对点训练3(2017河南濮阳一模)已知椭圆C: (ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆于A,B两点,ABF1的周长为8,且AF1F2的面积的最大时,AF1F2为正三角形. (1)求椭圆C的方程; (2)若MN是椭圆C经过原点的弦,MNAB,-95-,题型一,题型二,题型三,-96-,题型一,题型二,题型三,-97-,题型一,题型二,题型三,题型三 圆锥曲线中的存在性问题 突破策略 肯定顺推法 例4(2017黑龙江大庆三模,理20)已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率 (1)
28、求椭圆的方程; (2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.,-98-,题型一,题型二,题型三,-99-,题型一,题型二,题型三,-100-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)设椭圆方程,由题意列关于a,b,c的方程组求解a,b,c的值,则椭圆方程可求.解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,-101-,题型一,题型二,题型三,-102-,题型一,题型二,题型三,-103-,题型一,题型二,题型三,
