1、高考大题专项突破三 高考中的数列,-2-,从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题规律是解答题每两年出现一次,命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一 等差、等比数列的综合问题 突破策略一 公式法 对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可. 例1已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求a
2、n的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,答案,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练1在等比数列an中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及其前n项和Sn.,答案,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略二 转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,都可以通过变形、整理,把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题. 例2已知等比数列an的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差
3、数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3an,求T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.,答案,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型二 证明数列为等差或等比数列 突破策略一 定义法 证明与判断一个数列
4、是等差(或等比)数列的要求不同,证明必须是严格的,只用等差、等比数列的定义.用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n2)和an+1-an=d,前者必须加上“n2”,否则n=1时a0无意义;在等比数列中也有:当n2时,有,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)求a1,a2; (2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列; (3)若数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.,答案,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)证明: an+1=Sn+3n, Sn+1-Sn=Sn+3n, 即Sn+1=
5、2Sn+3n. Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). a13,数列Sn-3n是公比为2,首项为a1-3的等比数列.,对点训练3设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*). (1)求证:Sn-3n是等比数列; (2)若an为递增数列,求a1的取值范围.,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)解: 由(1)得,Sn-3n=(a1-3)2n-1,即Sn=(a1-3)2n-1+3n, 故当n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1. an为递增数列, 当n2时,an+1an,即(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n
6、-1. 当n2时,a1-9. a2=a1+3a1, a1的取值范围是(-9,+).,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略二 递推相减化归法 对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明. 例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN* 都成立,其中m为常数,且m-1. (1)求证:数列an是等比数列; (2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n2,nN+).求证:数列
7、(3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项和为Tn,求证:Tn1.,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明: (1)当n=1时,a1=S1=1. Sn=(m+1)-man, Sn-1=(m+1)-man-1(n2), 由-,得an=man-1-man(n2), 即(m+1)an=man-1. a10,m-1,an-10,m+10.,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)证明: 由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减,得(3+m)an+1=
8、2man,an是等比数列.,对点训练4设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为常数,且m-3. (1)求证:an是等比数列;(2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,-16-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型三 非等差、等比数列的求和问题 突破策略一 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,即和式两边同乘等比数列的公比,然后作差求解. 例5已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差
9、数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式;,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解: (1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d.可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练5(2017湖南郴州二模,理17)已知等差数列an满足:an+1an(nN*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1. (1)分别求数列a
10、n,bn的通项公式; (2)求数列anbn的前n项和Tn.,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解: (1)设等差数列an的公差为d,且d0, 由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d), 解得d=2,an=1+(n-1)2=2n-1, 又an=-1-2log2bn,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略二 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的项是前后对称的. 例6(2017山西临汾二模,理17)已知数列an的
11、前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立. (1)求数列an的通项公式;,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解: (1)在3an=2Sn+3中,取n=1得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3, -得3an+1-3an=2an+1, an+1=3an, 数列an是以3为首项,以3为公比的等比数列, an=33n-1=3n. (2)bn=log3an=n,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练6(2017河北邯郸二模)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且3Sn=an+1-1. (1)求数列an的通项公式; (2)设等差数列bn的前n项
12、和为Tn,a2=b2,T4=1+S3,解: (1)3Sn=an+1-1, 当n1时,3Sn-1=an-1, -得3(Sn-Sn-1)=3an=an+1-an,则an+1=4an, 又a2=3a1+1=4=4a1,数列an是首项为1,公比为4的等比数列,则an=4n-1.,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型四 数列型不等式的证明 突破策略 放缩法 要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必要时对其和再放缩. 例7已知数列an满足a1=1,an+1=3an
13、+1.,-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练7(2017贵州贵阳二模,理17)设Sn是数列an的前n项和,an0,且4Sn=an(an+2). (1)求数列an的通项公式;,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型五 数列中的存在性问题 突破策略 存在顺推法 求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在;若推不出矛盾,则得到存在的结果. 例8已知数列an的前n项和为Sn,
14、a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明an+2-an=. (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)证明: 因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1. 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 因为an+10,所以an+2-an=. (2)解: 由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公
15、差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,即an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列.,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练8已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,1.解决等差、等比数列的综合问题,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错. 2.求数列的通项公式就
16、是求出an与n的关系式,无论条件中的关系式含有哪些量,都需要通过消元思想、转化思想和化归思想使之变为等差、等比数列. 3.高考对数列求和的考查主要是:两基本数列的公式求和;能通过错位相减后转化为等比数列求和;裂项相消法求和;分组或合并后转化为等差、等比数列求和.,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,4.证明一数列为等差数列或等比数列主要依据定义,尽管题目给出的条件多种多样,但一个总体目标是把条件转化成 与an的差或比为一定值. 5.数列与不等式综合问题 (1)数列不等式的证明要把数列的求和与放缩法结合起来,灵活使用放缩法.放缩后的式子越接近放缩前的式子,即放缩程度越小,保留的项就越少,运算就越简单. (2)证明数列不等式也经常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用.,
