1、12.4 二项分布与正态分布,-2-,知识梳理,考点自测,1.条件概率及其性质在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数,则,P(B|A)+P(C|A),-3-,知识梳理,考点自测,2.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)= ,那么称事件A与事件B相互独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,则P(B|A)= ,P(A|B)=P(A). 如果事件A与B相互独立,那么 也相互独立. 如果A1,A2,An相互独立,那么P(A1A2An)= .,P(A)P(B),P(B),P(A1)P(A2)P(An),-4-,知识梳理,考点自测
2、,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有 种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)= ,此时称随机变量X服从 ,记作 ,并称p为成功概率.,两,二项分布,XB(n,p),-5-,知识梳理,考点自测,4.正态分布 (1)正态曲线:函数 x(-,+),其中实数和(0)为参数.我们称函数,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 曲线在x
3、轴的上方,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线x=对称;曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移; 当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.,-6-,知识梳理,考点自测,(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足 ,则称随机变量X服从正态分布,记作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+) ; P(-2X+2) ; P(-3X+3) .,XN(,2),0.682 7,0.954 5,0.997 3,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,2,3
4、,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( ) (2)对于任意两个互斥事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥事件一定不是独立事件.( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( ) (5)X服从正态分布,通常用XN(,2)表示,其中参数和2分别表示正态分布的均值和方差.( ),答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017山西临汾考前训练三,理7)2017年高考前第二次适应性训练结束后,某校对全市的英语成绩进行统计,
5、发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是( ),答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是 ( ),答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017辽宁大连一模,理8)将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ,则n的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测
6、,2,3,4,1,5,5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 .(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5),答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( ) A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 (2)(2017山西运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒
7、种子能成长为幼苗的概率为 .,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求条件概率有哪些基本的方法? 解题心得求条件概率的基本方法有两个:(2)基本事件法:利用古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2017黑龙江大庆模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)= ( )(2)从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,事件B为“第二次取到的是奇数
8、”,则P(B|A)= .,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C班的学生人数; (2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
9、为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明),-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”. 由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+ (3)10.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思
10、考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有哪些常用的方法? 解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法: (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2017吉林通化模拟)设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 .若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完. (1)求他前两发子弹只
11、命中一发的概率; (2)求他所耗用的子弹数X的分布列与期望.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(2017湖北武汉四月调研,理18)某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录,绘制出日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率,且假设每天的销售量相互独立.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)求在未来的连续4天中,有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率; (2)用表示在未来4天中日销售量不低于100枝的天数,求随机变量的分布列和数学期望. 思考二项分布满足的条件有哪些?,-24-,考点1
12、,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4某架飞机载有5位空降兵空降到A,B,C三个地点,每位空降兵都要空降到A,B,C中任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是 ,用表示地点C的空降人数,求: (1)地点A空降1人,地点B,C各空降2人的概率; (2)随机变量的分布列与期望.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.独立重复试验满足的两个条件:一是在同样的条件下重复进行;二是各次试验之间相互独立. 2.二项分布满足的条件 (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的
13、; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(2017河北武邑中学一模,理18)一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”. (1)求一个试用组为“甲类组”的概率; (2
14、)观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求的分布列和数学期望.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(1)(2017湖北模拟)已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(0),则有如下结论:P(|X-|)=0.682 7,P(|X-|2)=0.954 5,P(|X-|3)=0.997 3.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上说,在130分以上的人数约为( ) A.19 B.12 C.6 D.5,答案,解析,-33-,考点1,考点
15、2,考点3,考点4,思考如何求正态分布在某一个区间上的概率? 解题心得解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. 正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相同. P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)设随机变量服从正态分布N(1,2),则函数f(x)=x2+2x+不存
16、在零点的概率为( )(2)某地市高三理科学生有15 000名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布N(100,2),已知P(80100)=0.35,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取( ) A.5份 B.10份 C.15份 D.20份,答案,解析,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(AB)=P(A)+P(B).两个事件相互独立不一定互斥.3.若X服从正态分布,即XN(,2),要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时,一定要注意公式成立的条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立. 2.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.,
