1、12.3 离散型随机变量及其分布列,-2-,知识梳理,考点自测,1.随机变量 在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,在这种对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 ,随机变量常用字母X,Y,等表示.若是随机变量,=a+b,其中a,b是常数,则也是随机变量. 2.离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为 随机变量.,随机变量,离散型,-3-,知识梳理,考点自测,3.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(
2、X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的 ,简称为X的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质,概率分布列,-4-,知识梳理,考点自测,4.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.,-5-,知识梳理,考点自测,1.若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b是常数)也是随机变量. 2.随机变量所取的值分别对应的事件是两两互
3、斥的.,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.( ) (2)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( ) (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.( ) (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.袋中有除颜色外其他完全相同的3个白球、5个黑球,从中任取2个
4、,可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.设随机变量X的概率分布列如下,则P(|X-2|=1)=( ),答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017河北石家庄模拟)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,答
5、案,-12-,考点1,考点2,考点3,思考利用离散型随机变量的分布列的性质能解决哪些问题? 解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.,-13-,考点1,考点2,考点3,对点训练1设离散型随机变量X的分布列为求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列.,解: 由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 解得m=0.3. 列表得,-14-,考点1,考点2,考点3,从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1的分
6、布列为(2)|X-1|的分布列为,-15-,考点1,考点2,考点3,考向1 与互斥事件、独立事件有关的分布列 例2(2017山东临沂一模,理18)甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为 ,乙每次射击命中的概率为 ,且每次射击互不影响,约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率; (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望E(X).,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考甲获胜包括哪几种情况? 解题心得本例(1)中,甲获胜包括甲在第一次射击中获胜;甲和乙在第一次射击中都没射中,
7、甲在第二次射击中射中;甲和乙在前两次射击中都没射中,甲在第三次射击中射中.这些事件都是互斥事件.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练2甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ,每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,
8、考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2 变量取值概率为古典概型的分布列 例3已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,思考如何求古典概型的离散型随机变量的分布
9、列? 解题心得1.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件A包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率. 2.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.,-25-,考点1,考点2,考点3,对点训练3某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.,-26
10、-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,考向3 统计与随机变量分布列的综合 例4(2017河南六市联考二模,理18)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在50,100内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表,规定:A,B,C三级为合格等级,D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照50,60),60,70),70,80),80,90), 90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.,-28-,考点
11、1,考点2,考点3,(1)求n和频率分布直方图中的x,y的值; (2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生中任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率; (3)在选取的样本中,从A,C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记 表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,思考求随机变量的分布列的基本步骤有哪些? 解题心得求随机变量的分布列的三个步骤 (1)找:找出随机变量的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定=xi的意义. (2)求:借助概率的
12、有关知识求出随机变量取每一个值的概率P(=xi)=pi(i=1,2,n). (3)列:列出表格,并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.,-31-,考点1,考点2,考点3,对点训练4(2017陕西汉中二模,理17)某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分布直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间2,4)的有8人.,-32-,考点1,考点2,考点3,(1)求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间10,12的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于
13、等于10小时的学生中任选4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为,求的分布列和数学期望.,-33-,考点1,考点2,考点3,解: (1)由直方图知,(0.150+0.125+0.100+0.087 5+a)2=1,解得a=0.037 5. 因为甲班学生每天平均学习时间在区间2,4)的有8人,所以甲班的学生人数为 所以甲、乙两班人数均为40,所以甲班学生每天平均学习时间在区间10,12的人数为400.037 52=3. (2)乙班学生每天平均学习时间在区间10,12的人数为400.052=4. 由(1)知甲班学生每天平均学习时间在区间10,12的人数为3,在两班中学习时间大于等于10小时的同学共7
14、人, 的所有可能取值为0,1,2,3.,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,例5(2017河北保定二模,理18)为了检验训练情况,武警某支队于近期举办了一场展示活动,其中男队员12人,女队员18人,测试结果如茎叶图所示(单位:分).若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号,其他队员则给予“优秀陪练员”称号.,(1)若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人,然后再从这10人中选4人,那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少? (2)若从所有“优秀警员”中选3名代表,用表示所选女“优秀警员”的人数,试求的分布列和数学期望.,-36-,考点1,
15、考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,-38-,考点1,考点2,考点3,思考超几何分布有什么特点?它主要应用在哪些方面? 解题心得1.超几何分布的两个特点: (1)超几何分布是不放回抽样问题; (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的应用:超几何分布属于古典概型,主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.,-39-,考点1,考点2,考点3,对点训练5(2017江西赣州模拟)盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有一个
16、红色球的概率; (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率; (3)设为取出的3个球中白色球的个数,求的分布列.,-40-,考点1,考点2,考点3,-41-,考点1,考点2,考点3,1.求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率,要注意避免分类不全面或计算错误. 2.注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误. 3.本节求概率分布的常见类型: (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列; (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列. 4.对于离散型随机变量X,P(X=k)表示的是变量X的值为k时的事件发生的概率,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.,-42-,考点1,考点2,考点3,1.对于分布列,易忽视其性质p1+p2+pn=1及pi0(i=1,2,n),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确. 2.确定离散型随机变量的取值时,各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.,
