1、6.3 等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,考点自测,1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的比等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q(q0)表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an= . 3.等比中项 如果 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列 . 4.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;,第二项,同一个,公比,a1qn-1,a,G,b,G2=ab,-3-,知识梳理,
2、考点自测,-4-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列. ( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab.( ) (3)等比数列中不存在数值为0的项.( ) (4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.( ) (5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列.( ) (6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为,答案,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017北京海淀区二模,理5)已知an为无穷等比
3、数列,且公比q1,记Sn为an的前n项和,则下列结论正确的是( ) A.a3a2 B.a1+a20 C. 是递增数列 D.Sn存在最小值,答案,解析,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为( ) A.21 B.42 C.63 D.54,答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国2,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯
4、数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017北京朝阳二模,理11)等比数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式an= .,答案,解析,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )(2)(2017陕西咸阳二模,理7)在等比数列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的两根,则a5=( ) A.1 B.-1 C.1 D.3 (3)(2017全国,理14)
5、设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些? 解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和. (3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,-11-,考点1,考点2,考点3,考
6、点4,对点训练1(1)(2017山西太原二模)已知公比q1的等比数列an前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=( )(2)(2017安徽安庆二模,理4)在等比数列an中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则an的公比等于( ) A.3 B.2或3 C.2 D.6,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;,答案,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法? 解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(3)通项公式法
7、,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列. 2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2017吉林市模拟)已知数列an中,a1=1,anan+1= 记T2n为an的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,nN*. (1)判断数列bn是否为等比数列,并求出bn; (2)求T2n.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向1 等比数列项的性质的应用 例3(1)在由正数组成的等
8、比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为( )(2)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 等比数列前n项和的性质的应用 例4(1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 (2)在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于( ) A.21 B.42 C.135
9、D.170,思考本题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形 =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n). 2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)(2017广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4
10、+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9= ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 (2)(2017江西宜春二模,理4)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=( ) A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(2017全国)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决等差数
11、列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(2017湖南邵阳一模)在等差数列an中,a2=1,a5=4. (1)求数列an的通项公式an; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Sn.,答案,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”
12、,通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.判定等比数列的方法 (1)定义法: =q(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列. (3)等比中项法: =anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0. 2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.,3.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,
