1、8.2 空间几何体的表面积与体积,-2-,知识梳理,考点自测,1.多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 ,表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,所有侧面的面积之和,2rl,rl,(r1+r2)l,-3-,知识梳理,考点自测,3.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,-4-,知识梳理,考点自测,1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.长方体的外接球 (1)球心:体对角线的交点.3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看
2、作是正方体的一部分),-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.( ) (3)若一个球的体积为4 ,则它的表面积为12.( ) (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9.( ) (5)将圆心角为 ,面积为3的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测
3、,2,3,4,1,5,2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形,俯视图是圆心角为 的扇形,则该几何体的侧面积为( ),答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2017全国,理8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ),答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017天津,理10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017宁夏石嘴山
4、第三中学模拟,理15)三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA平面ABC,ABAC,又SA=AB=AC=1,则球O的表面积为 .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,例1(1)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20 B.24 C.28 D.32,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,(2)(2017广东、江西、福建十校联考)某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ),答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,思考求几何体的表面积的关键是什么? 解题心得1.求几何体的表面积,关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的
5、三视图,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.,-13-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(2017江西宜春中学3月模拟)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ),答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )A.17 B.18 C.20 D.28
6、,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,考向1 根据几何体的三视图计算体积 例2(1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ),答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,(2)某几何体的三视图如图所示,图中四边形都是边长为2的正方形,两条虚线相互垂直,则该几何体的体积是( )思考由三视图求解几何体体积的一般思路是什么?,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,考向2 求空间几何体的体积 例3(1)(2017江苏无锡一模,6)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为 . (2)如图所示,
7、BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于 . 思考求解几何体体积的一般思路是什么?,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 2.求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量. 3.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高. 4.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方
8、法,应熟练掌握.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ),-20-,考点1,考点2,考点3,(2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ),-21-,考点1,考点2,考点3,(3)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为( ),-22-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)D (2)C (3)A,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,例4(1)(2017河北保定二模,理8)已知一个球的表面
9、上有A,B,C三点,且AB=AC=BC=2 ,若球心到平面ABC的距离为1,则该球的表面积为( ) A.20 B.15 C.10 D.2 (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为( ),-25-,考点1,考点2,考点3,(3)四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2 ,则该球的表面积为( ),-26-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)A (2)C (3)D,解析: (1)由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰
10、为正三角形ABC的外接圆O,设球O的半径为R, 球心到平面ABC的距离为1, 由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5, 球O的表面积S=4R2=20,故选A.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,思考如何求解球的表面积、体积及与球有关的切、接问题中的表面积、体积问题? 解题心得1.求解球的表面积、体积问题的关键是求出球的半径,一般方法是依据条件建立关于半径的等式. 2.多面体的外接球和内切球问题,其解题关键在于确定球心在多面体中的位置,找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系,结合原有多面体的特性求出球的半径,然后利用
11、球的表面积和体积公式进行正确计算.常见的方法是将多面体还原到正方体或长方体中再去求解. 3.球的截面问题,首先需理解两个基本性质:球的任何一个截面都是圆面,球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面.然后利用性质解三角形求出球的半径.,-30-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2017河北张家口4月模拟,理10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,且侧棱AA1平面ABC,若AB=AC=3,BAC= ,AA1=8,则球的表面积为( ) (2)(2017福建厦门一中考前模拟,理9)在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD,异面直线AD与SC所成的角为60
12、,AB=2.则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为( ) A.6 B.8 C.12 D.16,答案: (1)C (2)B,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,(2)取底面中心O,BC中点E,连接SO,SE,OE,SOOE, ADBC,SCB为异面直线AD, SC所成的角,即SCB=60, SB=SC,SBC是等边三角形,-33-,考点1,考点2,考点3,1.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决. 2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误. 3.易混侧面积与表面积的概念.,
