1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,知识梳理,考点自测,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,-3-,知识梳理,考点自测,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小正数,-4-,知识梳理,考点自测,1.函数奇偶性
2、的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,-5-,知识梳理,考点自测,2.周期性的几个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数): (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;,-6-,知识梳理,考点自测,3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f
3、(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (4)若y=f(x)对任意的xR,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一
4、定有f(0)=0.( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( ) (4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-,0)内f(x)是减少的,则在(0,+)内f(x)是增加的.( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.( ),答案,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,3.(教材习题改编P39A组
5、T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1),-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,4.(教材习题改编P39B组T3)已知函数f(x)是奇函数,在区间(0,+)内是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为-3,4,则f(x)在区间-b,-a上( ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值-3 D.有最小值-3,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,
6、知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,5.(教材习题改编P39B组T1)已知函数f(x)的定义域为R,且对于xR,恒有f(x+2)=f(x).当x2,4时,f(x)=x2-2x,则f(2 017)= .,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. (2)由题意知函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,-14-,考点1,考点2
7、,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得判断函数的奇偶性要注意两点: (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提. (2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,思考判断函数的奇偶性要注意什么?,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(1)(2017齐鲁名校模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=( )(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值
8、范围是 ( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) (3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)= ,则函数f(x)的解析式为 ; (4)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为 .,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1, 则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3. (2)因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,解得-2a1.,-19-,考点1,
9、考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等. 2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.,思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)(2017贵州贵阳适应性检测)若f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=( )A.x|-22 B.x|0
10、4C.x|x2,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 ( ) A.336 B.337 C.1 678 D.2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= .若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= .,答案: (1)B (2)2.5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(
11、x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1.又f(2 017)=f(1)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=336+1=337.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5) =f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考函数周期性的主要应
12、用是什么? 解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案: (1)D (2)2 (3)0,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2). 又223,所以f(2)=2, 即f(2 018)=2.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案: (1)D
13、 (2)A (3)2,例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在1,3上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 (2)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是( ) A.f()f(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3) (3)(2017山西晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立
14、,则f(2 017)= .,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)因为f(x)在-1,0上是减少的,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在0,1上是增加的. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示. 由图象可以观察出,f(x)在1,2上是减少的,在2,3 上是增加的.故选D. (2)因为32,且当x0,+)时,f(x)是增加的,所以f()f(3)f(2). 又函数f(x)为R上的偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2), 故f()f
15、(-3)f(-2).,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(-3)=0,f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=2.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略有哪些? 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
16、(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)1, ,则实数a的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是增函数,则( ) A.f(-25)f(1
17、1)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),答案: (1)A (2)D,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),解得-1a4. (2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f
18、(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增加的,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增加的, 所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,
