1、9.6 双曲线,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0. (1)当 时,点P的轨迹是双曲线; (2)当 时,点P的轨迹是两条射线; (3)当 时,点P不存在.,-2-,知识梳理,考点自测,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,-3-,知识梳理,考点自测,-4-,知识梳理,考点自测,3.双曲线的性质,-5-,知识梳理,考点自测,坐标轴,原点,(-
2、a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),a2+b2,2a,2b,-6-,知识梳理,考点自测,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017北京房山一模,理11)已知双曲线 (a0)的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为 .,答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017北京,理9)若双曲线 ,则实数m= .,答案,解析,-13-,
3、考点1,考点2,考点3,例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 . (2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上, |PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2= .,-14-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC
4、2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形? 解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|P
5、F2|的联系.,-18-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)D (2)B,-19-,考点1,考点2,考点3,在PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60 =|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4, -,得|PF1|PF2|=4.,-20-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)D (2)B,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考
6、点3,-24-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,思考求双曲线方程的一般思路是怎样的? 解题心得1.双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式来反映.求双曲线的离心率的一般思路就是根据已知条件,建立起实半轴长a与虚半轴长b之间的关系,再结合c2=a2+b2,从而求出 的值. 2.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程. 3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用解三角形或不等式等知识解决问题.,-
7、26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,例5(2017宁夏银川二模)点P是双曲线 (a0,b0)的右支上一点,其左、右焦点分别为F1,F2,直线PF1与以原点O为圆心,a为半径的圆相切于点A,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2,则离心率的值为( ),答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,思考如何解答双曲线与圆的综合问题? 解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件、如垂直关系、线段或角的等量关系等.,-31-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-32-,考点1,考点2,考点3,-33-,考点1,考点2,考点3,1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负. 2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+).4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.,
