1、9.5 椭圆,1.椭圆的定义 平面内到两定点F1,F2的距离的和 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两定点F1,F2叫做椭圆的 . (1)当 时,点P的轨迹是椭圆; (2)当 时,点P的轨迹是线段; (3)当 时,点P不存在.,-2-,知识梳理,考点自测,等于常数,焦点,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,-3-,知识梳理,考点自测,2.椭圆的标准方程和几何性质,-4-,知识梳理,考点自测,-a,a,-b,b,-b,b,-a,a,坐标轴,(0,0),(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2c
2、,(0,1),a2-b2,-5-,知识梳理,考点自测,-6-,知识梳理,考点自测,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.( ),答案
3、,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2017湖南长沙一模)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为( ),答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.若方程 表示椭圆,则k的取值范围是 .,答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017贵州贵阳监测)椭圆 短轴长为4,则椭圆的方程为 .,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,例1(1)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F
4、(1,0),O为坐标原点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程为 .,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,思考如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题? 解题心得1.利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件. 2.当点P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,椭圆中焦点三角形的4个常用结论: (1)|PF1|+|PF2|=2a. (2)当点P为短轴端点时,F1PF2最大.(4)焦点三角形的周长为2(a+c).,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(20
5、17北京东城模拟)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则点A,B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为( ) A.2 B.4 C.8 D.2 (2)(2017湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为坐标原点,F1,F2为它的两个焦点,离心率为 ,过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为 .,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)A (2)D,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,思考求椭圆离心率或其范围有
6、哪些方法?椭圆的形状与椭圆的离心率有怎样的关系? 解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.,-23-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)C (2)A,-24-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2, 则由题意得m2+3=4,即m2=1(m0).所以m=-1, 则圆心M的坐标为(1,0). 由题意知直线l的方程为x=-c, 又直线l与圆M相切,所以c=1. 所以a2-3=1,所以a=2.,-25-,考点1,考点2,考点3,考向
7、1 弦的中点问题 例3已知椭圆E: (ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为 . 思考如何快捷的求解与椭圆弦中点有关的问题?,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,考向2 有关弦长问题(1)求椭圆G的方程; (2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求PAB的面积. 思考怎样求直线与椭圆相交所得弦长能减少计算量?,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,考向3 直线与椭圆的综合问题 例5(2017北京房山
8、一模,理18)已知椭圆C:x2+4y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)椭圆C的长轴的两个端点分别为A,B,点P在直线x=1上运动,直线PA,PB分别与椭圆C相交于M,N两个不同的点,求证:直线MN与x轴的交点为定点. 思考怎样才能说明直线MN与x轴的交点为定点?,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,-36-,考点1,考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,-38-,考点1,考点2,考点3,-39-,考点1,考点
9、2,考点3,-40-,考点1,考点2,考点3,1.椭圆中的参数a,b,c三者之间的关系为a2-b2=c2(ab0). 2.求离心率常用的两种方法 (1)求得a,c的值,代入公式e= 即可; (2)列出关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系式,最后转化为关于e的方程(组)或不等式(组). 3.椭圆中焦点三角形的面积公式为 (其中P为椭圆上任意一点,但不能与F1,F2三点共线,F1,F2是椭圆的左、右焦点,为F1PF2的大小).,-41-,考点1,考点2,考点3,1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小. 2.关于离心率的取值范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0,1). 3.注意椭圆的范围,在设椭圆 (ab0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.,
