1、第三章 导数及其应用,3.1 导数的概念及运算,-3-,知识梳理,考点自测,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(2)几何意义:f(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的 . 3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f(x),则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的 ,通常也简称为导数.,斜率,导函数,-4-,知识梳理,考点自测,4.基本初等函数的导数公式,x-1,cos x,-sin x,ex,axln a,-5-,知识梳理,考点自测,5.导数的运算法则 若f(x),g(x)存在,则有 (1)f(x)
2、g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.,yuux,y对u,u对x,-6-,知识梳理,考点自测,1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,
3、4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( ) (2)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( ),答案,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.下列求导运算正确的是( )C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2xsin x,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2
4、,3,4,1,5,3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为A.0 s B.1 s末 C.2 s末 D.1 s末和2 s末,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .,答案,解析,-12-,考点1,考点2,答案,-13-,考点1,考点2,思考函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角
5、恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混. (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.,-14-,考点1,考点2,对点训练1求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(4)y=ln(2x-5).,答案,-15-,考点1,考点2,考向1 过函数图象上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考求曲线的切线
6、方程要注意什么?,答案,-16-,考点1,考点2,考向2 已知切线方程(或斜率)求切点 例3已知曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 . 思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考向3 已知切线方程(或斜率)求参数的值A.1 B.-1 C.7 D.-7,思考已知切线方程(或斜率)求参数值的关键一步是什么?,答案,解析,-18-,考点1,考点2,解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=
7、f(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.,-19-,考点1,考点2,对点训练2(1)(2017辽宁大连一模,理14)已知函数f(x)=exsin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程是 . (3)若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,-20-,考点1,考
8、点2,1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导. 2.导数的几何意义是函数的图象在切点处的切线斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求在该点处的导数值k=f(x0); (2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k; (3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0),求导数得出斜率k=f(x0),列出切线方程代入已知点坐标求解或利用,-21-,考点1,考点2,1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)=nxn-1(nQ*)与指数函数的求导公式(ax)=axln a混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明此直线与曲线只有一个公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.,
