1、7.2 基本不等式及其应用,-2-,知识梳理,考点自测,a=b,2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0, (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有最 值是(简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 时,xy有最 值是 (简记:和定积最大).,x=y,小,x=y,大,-3-,知识梳理,考点自测,-4-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,A.(-,0) B.(-,-
2、2 C.2,+) D.(-,+),答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案,解析,-9-,考点1,考点2,考点3,-10-,考点1,考点2,考点3,-11-,考点1,考点2,考点3,思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些? 解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、
3、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,考向1 求不含等式条件的函数最值 例2(1)(2017天津,理12)若a,bR,ab0,则 的最小值为 . (2)若函数f(x)= (x2)在x=a处取最小值,则a= . 思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?,答案: (1)4 (2)3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点
4、1,考点2,考点3,考向2 求含有等式条件的函数最值(2)(2017江西南昌模拟)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 . 思考如何应用基本不等式求含有已知等式的函数最值?,答案: (1)B (2)6,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,(方法二)x0,y0,x+3y+xy=9,当且仅当x=3y时等号成立. 设x+3y=t0,则t2+12t-1080,即(t-6)(t+18)0, 又t0,t6. 当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.,-19-,考点1,考点2,考点3,考向3 已知不等式恒成立求参数的取值范围 例4当xR时,32x-(k
5、+1)3x+20恒成立,则k的取值范围是( ),答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,思考已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是什么? 解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式. 2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数法,且有af(x)恒成立af(x)max,af(x)
6、恒成立af(x)min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2017山东青岛一模,理9)已知x1,y1,且lg x, ,lg y成等比数列,则xy有( ) A.最小值10 B.最小值 C.最大值10 D.最大值A.4 B.6 C.8 D.12(4)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 . (5)已知函数f(x)= (p为常数,且p0),若f(x)在(1,+)内的最小值为4,则实数p的值为 .,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,
7、考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,例5某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?,-27
8、-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么? 解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.,-29-,考点1,考点2,考点3,对点训练5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的
9、函数关系可近似地表示为y= x2-200x +80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,1.应用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等. 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”,忽视哪一个都可能致误. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.,
