1、1课时规范练 25 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固组1.向量 a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.(2017广东揭阳一模)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-7,-4),则向量 =( ) A.(10,7) B.(10,5)C.(-4,-3) D.(-4,-1)3.已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成 c= a+ b( ,
2、 为实数),则实数 m的取值范围是( )A.(- ,2) B.(2,+ )C.(- ,+ ) D.(- ,2)(2, + )4.已知平面向量 a=(1,-2),b=(2,m),且 ab,则 3a+2b=( )A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8)5.已知向量 在正方形网格中的位置如图所示,若 = + ,则 = ( ),和 A.-3 B.3 C.-4 D.46.在 ABC中,点 P在边 BC上,且 =2 ,点 Q是 AC的中点 ,若 =(4,3), =(1,5),则 等于( ) A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)7.设 A1,
3、A2,A3,A4是平面上给定的 4个不同点,则使 =0成立的点 M的个数1+2+3+4为( )A.0 B.1 C.2 D.4 导学号 215005378.(2017福建龙岩一模)已知平面内有三点 A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且 ,则 x的值为 . 9.已知向量 a,b满足 |a|=1,b=(2,1),且 a+b=0( R),则 |= . 10.若平面向量 a,b满足 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,b =(2,-1),则 a= .11.如图,在平行四边形 ABCD中, M,N分别为 DC,BC的中点,已知 =c, =d,则 = , = .(用 c,d表示) 12.(201
4、7湖南模拟)给定两个长度为 1的平面向量 ,它们的夹角为 .如图所示,点 C在以和 23O为圆心的 上运动 .若 =x +y ,其中 x,yR,则 x+y的最大值为 . 2二、综合提升组13.(2017河北武邑中学一模,理 7)在 Rt ABC中, A=90,点 D是边 BC上的动点,且| |=3,| |=4, = + ( 0, 0),则当 取得最大值时, | |的值为( ) A. B.3 C. D.72 52 12514.在 ABC中,点 D在线段 BC的延长线上,且 =3 ,点 O在线段 CD上(与点 C,D不重合),若=x +(1-x) ,则 x的取值范围是( ) A. B.(0,12)
5、 (0,13)C. D.(-12,0) (-13,0)15.设 O在 ABC的内部,且有 +2 +3 =0,则 ABC的面积和 AOC的面积之比为( )A.3 B.53C.2 D. 导学号 215005383216.若 , 是一组基底,向量 =x +y( x,yR),则称( x,y)为向量 在基底 , 下的坐标 .现已知向量 a在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为( -2,2),则向量 a在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 . 三、创新应用组17.(2017辽宁大连模拟)在 ABC中, P是 BC边的中点,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若c +a
6、+b =0,则 ABC的形状为( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形,但不是等边三角形18.(2017全国 ,理 12)在矩形 ABCD中, AB=1,AD=2,动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上 .若= + ,则 + 的最大值为( ) A.3 B.2 2C. D.2 导学号 2150053953课时规范练 25 平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B 由题意知,A 选项中 e1=0;C,D选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选 B.2.C 由点 A(0,1),B(3,2),得 =(3,1).又由 =(-7,-4),得 =(-4,-3).故选 C. =
7、+3.D 由题意,得向量 a,b不共线,则 2m3 m-2,解得 m2 .故选 D.4.B 因为 ab,所以 m+4=0,所以 m=-4.所以 b=(2,-4).所以 3a+2b=(7,-14).5.A 设小正方形的边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,则 =(2,-2), =(1,2), =(1,0).由 题意,得(2, -2)= (1,2)+ (1,0),即 解得 所以 =- 3.故选 A.2=+,-2=2, =-1,=3, 6.B 如图, =3 =3(2 )=6 -3 =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 7.B 设 M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4)
8、,则 =(xi-x,yi-y).由 =0,4=1得 1+2+3+4-4=0,1+2+3+4-4=0,即=14(1+2+3+4),=14(1+2+3+4),故点 M只有 1个 .8.1 由题意,得 =(3,6), =(x,2). A, 6x-6=0,解得 x=1.9 |b|=. 5 22+12=5.由 a+b=0,得 b=- a,故 |b|=|- a|=| a|,4所以 |=|=51=5.10.(-1,1)或( -3,1) 由 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,得 a+b=(1,0)或 a+b=(-1,0),故 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或 a=(-1,0)-(2,-1)=(-
9、3,1).11 (2d-c) (2c-d) 设 =a, =b.23 23 因为 M,N分别为 DC,BC的中点,所以 b, a.=12 =12又=+12,=+12,所以=23(2-),=23(2-),即 (2d-c), (2c-d).=23 =2312.2 以 O为坐标原点, 所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(1,0),B(-12,32).设 AOC= ,( 0,23)则 C(cos ,sin ).由 =x +y ,得=-12,=32, 所以=+33,=233, 所以 x+y=cos + sin 3=2sin(+6).又 ,0,23所以当 = 时 ,x+y取得最大值 2.
10、3513.C 因为 = + ,而 D,B,C三点共线,所以 += 1,所以 ,(+2 )2=14当且仅当 = 时取等号,此时 ,12 =12+12即 D是线段 BC的中点,所以 | |= |= 故选 C.12|52.14.D 依题意,设 = ,其中 1 ,则 + + ( )43 =+= =(1- ) +.又 =x +(1-x) ,且 不共线, ,所以 x=1- ,(-13,0)即 x的取值范围是 故选 D.(-13,0).15.A 设 AC,BC的中点分别为 M,N,则 +2 +3 =0可化为( )+2( )=0,即 +2 + + =0,所以 =-2 .所以 M,O,N三点共线,即 O为中位线
11、 MN的三等分点,所以 S AOC= S ANC= S ABC= S ABC,所以 =3.23 2312 13 16.(0,2) 向量 a在基底 p,q下的坐标为( -2,2), a=-2p+2q=(2,4).令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以 解得-+=2,+2=4, =0,=2,故向量 a在基底 m,n下的坐标为(0,2) .17.A 如图,由 c +a +b =0,得 c( )+a -b =(a-c) +(c-b) =0 为不共 .与 线向量, a-c=c-b= 0,a=b=c.18.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),由 |BC|CD|=|BD|r,得 r= ,| =215 =255即圆的方程是( x-2)2+y2=45.易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0). 6由 = + ,得 =2,-1=-,所以 = , =1-y,2所以 + = x-y+1.12设 z= x-y+1,12即 x-y+1-z=0.12因为点 P(x,y)在圆( x-2)2+y2= 上,45所以圆心 C到直线 x-y+1-z=0的距离 d r,12即 ,解得 1 z3,|2-|14+1255所以 z的最大值是 3,即 + 的最大值是 3,故选 A.
