1、1课时规范练 24 平面向量的概念及线性运算一、基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是( )A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( )|=|A.a=-b B.abC.a=2b D.ab,且 |a|=|b|3.设 D 为 ABC 所在平面内一点, =3 ,则( )A. =-13+43B.=1343C.=43+13D.=43134.(2017 北京丰台一模,理 4)设 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的
2、点,且 AE= AB,BF= BC.如12 23果 =m +n (m,n 为实数),那么 m+n 的值为 ( )A.- B.012C. D.1125.设向量 a,b 不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b.若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是( ) A.-2 B.-1C.1 D.26.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 +2 =3 ,则 的值为( )|A. B.12 13C. D.14 167.在四边形 ABCD 中, O 是四边形 ABCD 内一点, =a, =b, =c, =a-b+c,则四边形 ABCD 的形状为 ( )A.梯形 B.正方形C.平行四边形 D.菱
3、形8.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的三等分点, =a, =b,则 =( ) 2A.a- b B. a-b12 12C.a+ b D. a+b导学号 2150072612 129.若点 M 是 ABC 所在平面内的一点,且满足 5 +3 ,则 ABM 与 ABC 的面积比为 =. 10.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 ),则 的夹角为 . =12(+ 与 11.已知 D 为 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 =0, = ,则实数 的值为 + . 12.在任意四边形 ABCD 中, E,F 分别是 AD,BC 的中点,若 = + ,则 += . 二、综
4、合提升组13.在 ABC 中, D 是 AB 边上的一点, = ,| |=2,| |=1.若 =b, =a,则用( | + |) a,b 表示 为( )A. a+ b B. a+ b=23 13 =13 23C. a+ b D. a+ b=13 13 =23 2314.在 ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 =x +(1-x) ,则实数 x 的取值 范围是( )A.(- ,0) B.(0,+ )C.(-1,0) D.(0,1)15.A,B,C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点 O,存在实数 t 使得 =t + .16.已知向量 a,b,c 中
5、任意两个都不共线,且 a+b 与 c 共线,b +c 与 a 共线,则 a+b+c= . 三、创新应用组17.已知 A,B,C 三点不共线,且点 O 满足 =0,则下列结论正确的是( )+A.=13+23B.=23+13C.=1323D. =-231318.(2017 安徽马鞍山质检)已知 ABC 是边长为 4 的正三角形, D,P 是 ABC 内的两点,且满足), ,则 APD 的面积为( )=14(+=+18A. B.34 32C. D.2 导学号 215007273 33课时规范练 24 平面向量的概念及线性运算1.C 对于 A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故 A 不正确;对于 B
6、,单位向量的模为 1,其方向可以是任意方向,故 B 不正确;对于 C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故 C 正确;对于 D,由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确 .故选 C.2.C 因为 表示与 a 同向的单位向量 , 表示与 b 同向的单位向量 ,所以只要 a 与 b 同向即可,| |观察可知 C 满足题意 .3.A )=- 故选 A.=+=+=+43=+43(13+43.4.C 如图, =- =- )=-=+12+1312+13(+ 16+23.=m +n ,m=- ,n= ,16 23m+n= 故选 C.12.5.B =a+b, =a-2b, =2a
7、-b.=+又 A,B,D 三点共线,共线 .设 = , 则 2a+pb= (2a-b).即 2=2 ,p=-. 解得 = 1,p=-1.6.A 由 +2 =3 ,得 =2 -2 ,即 =2 ,所以 故选 A.|=12.47.C 因为 =a-b+c,所以 =c-b. =又 =c-b,=所以 且 | |=| |, A 所以四边形 ABCD 是平行四边形 .8.D 连接 CD(图略),由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD AB,且 a,所以=12=12=b+ a.=+129 如图,设 AB 的中点为 D.35由 5 +3 ,=得 3 -3 =2 -2 ,即 3 =2 ,故 C,M,D 三点共线
8、,且 ,也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 上的两高之比为 3 5,故=35CABM 与 ABC 的面积比为35.10.90 由 ),得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径,即 BAC=90,故 的=12(+ 与 夹角为 90.11.-2 如图,由 = ,且 =0,得 P 为以 AB,AC 为邻边的平行四边形的顶点,因此+=-2 ,故 =- 2. 12.1 如图,因为 E,F 分别是 AD 与 BC 的中点,所以 =0, =0.+又因为 =0,+所以 =+.同理 =+.由 + ,得 2 +( )+( )= ,所以 ),=+=12(+所以 = ,= 所以 += 1.12 12
9、.513.A 由题意,得 CD 是 ACB 的平分线,则 )=+=+23=+23(= a+ b,故选 A.23+13=23 1314.A 设 = ( 1),则 + =(1- ) +=+= .又 =x +(1-x) , 所以 x +(1-x) =(1- ) + .所以 = 1-x1,解得 x0.15.(1-t) 根据共线向量定理知, A,B,C 三点共线的充要条件是存在实数 t 使得 =t ,即=t( ),即 =t +(1-t) .16.0 因为 a+b 与 c 共线,所以 a+b= 1c. 又因为 b+c 与 a 共线,所以 b+c= 2a. 由 得 b= 1c-a.所以 b+c=( 1+1)c-a= 2a,所以 1+1=0,2=-1,即 1=-1,2=-1.所以 a+b+c=-c+c=0.17.D =0,+O 为 ABC 的重心,=- )=- )=- )=- (2 )=- ,故选 D.2312(+ 13(+ 13(+ 13 + 23A1318.A 取 BC 的中点 E,连接 AE,因为 ABC 是边长为 4 的正三角形,所以 AE BC, ).=12(+又 ),所以点 D 是 AE 的中点, AD= 取 ,以 AD,AF 为邻边作平行四边形,可=14(+ 3. =18知 因为 APD 是直角三角形, AF= ,所以 APD 的面积为=+18=+. 12 12123=34.
