1、1课时规范练 23 解三角形一、基础巩固组1. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,b=2,A=60,则 c=( )3A.12B.1C. 3D.22.在 ABC 中,已知 acos A=bcos B,则 ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知 ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列, BC 边上的中线 AD= ,AB=2,则 S ABC=( )7A.3B.2 3C.3 3D.64.在 ABC 中, B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A= ( )4 13A. B.31010 10
2、10C.- D.-1010 310105.在 ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos A+acos B=c2,a=b=2,则 ABC 的周长为( )A.7.5B.7C.6D.5导学号 215005346.已知 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 =sin A-sin (-)(+)B,则 C= . 7.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ccos B=2a+b,若 ABC 的面积为 S= c,则 ab 的32最小值为 . 8.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C
3、处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = .9.(2017 全国 ,理 17) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.3 7(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC,求 ABD 的面积 .2导学号 2150053510.已知岛 A 南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉私艇 .岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.
4、5 h 能截住该走私船?(参考数据: 38=5314,22=3314)二、综合提升组11. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C=2( )A. B. C. D.12 6 4 312.在 ABC 中, D 为 BC 边上的一点, AD=BD=5,DC=4, BAD= DAC,则 AC=( )A.9 B.8 C.7 D.613.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从点 A 测得点 M 的仰角 MAN=60,点 C 的仰角 CAB=45以及 MAC=75;从点 C 测
5、得 MCA=60.已知山高 BC=100 m,则山高 MN= m. 14.(2017 河南郑州一中质检一,理 17)已知 ABC 外接圆直径为 ,角 A,B,C 所对的边分别为433a,b,c,C=60.(1)求 的值 ;+(2)若 a+b=ab,求 ABC 的面积 .三、创新应用组15.(2018 福建泉州期末,理 10)已知点 P 是函数 f(x)=Asin(x+ )( 0)图象上的一个最高(12,2)点, B,C 是与 P 相邻的两个最低点 .若 cos BPC= ,则 f(x)的图象的对称中心可以是( )725A.(0,0) B.(1,0)C.(2,0) D.(3,0)316.(201
6、7 宁夏银川九中二模,理 17)已知函数 f(x)= sin x- 2sin2 +m( 0)的最小正周期为323,当 x0,时,函数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在 ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cos B+cos(A-C),求 sin A 的值 .导学号 21500536课时规范练 23 解三角形1.B 由已知及余弦定理,得 3=4+c2-22c ,整理,得 c2-2c+1=0,解得 c=1.故选 B.122.D a cos A=bcos B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,A=B ,或 2A+2
7、B=180,即 A+B=90, ABC 为等腰三角形或直角三角形 .故选 D.3.C A ,B,C 成等差数列, B= 60.在 ABD 中,由余弦定理,得 AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,即7=4+BD2-2BD,BD= 3 或 -1(舍去),可得 BC=6,S ABC= ABBCsin B= 26 =312 12 32 3.4.C (方法一)设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC= AD,AB= AD.由余弦定理,得 cos A=2+2=5 22+2-22= =- ,22+52-92225 1010故选 C.(方法二)如
8、图,在 ABC 中, AD 为 BC 边上的高,由题意知 BAD=4.设 DAC= ,则 BAC=+4.BC= 3AD,BD=AD.DC= 2AD,AC= AD.5 sin = ,cos = cos BAC=cos =cos cos -sin 25=255 15=55. (+4) 4 sin (cos -sin )= =- ,故选 C.4=22 22(55-255) 10105.D b cos A+acos B=c2,a=b=2,4 由余弦定理可得 b +a =c2,整理可得 2c2=2c3,2+2-22 2+2-22解得 c=1,则 ABC 的周长为 a+b+c=2+2+1=5.故选 D.6
9、 在 ABC 中 ,.3 (-)(+)=sin A-sin B,=a-b,(-)(+)a 2+b2-c2=ab, cos C= ,C=2+2-22 =12 3.7.12 在 ABC 中,由条件并结合正弦定理可得 2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B, 2sin Bcos C+sin B=0, cos C=- ,C=1223.由于 ABC 的面积为 S= absin C= ab= c,c= ab.12 34 32 12再由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos
10、 C,整理可得 a2b2=a2+b2+ab3 ab,14当且仅当 a=b 时,取等号,ab 12,故答案为 12.8 在 ABC 中, AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且 + ACB= . 2315由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos( - ),解得 cos = ,则 sin = ,516 23116所以 tan =2315 .9.解 (1)由已知可得 tan A=- ,3所以 A=23.在 ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos ,即 c2+2c-24=0.23解得 c=
11、-6(舍去), c=4.(2)由题设可得 CAD= ,2所以 BAD= BAC- CAD= 故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 =1.6.12612又 ABC 的面积为 42sin BAC=2 ,所以 ABD 的面积为12 3 3.10.5解 设缉私艇在 C 处截住走私船, D 为岛 A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为 x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意, BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14.又由正弦定理得 sin A
12、BC= , =5327 =5314所以 ABC=38.又 BAD=38,所以 BC AD.故缉私艇以 14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 h 截住该走私船 .11.B 由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则 sin C(sin A+cos A)=0,因为 sin C0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为 A(0,),所以 A= 由正弦定理 ,得 ,即 sin C= ,所34. = 234=
13、 2 12以 C= ,故选 B.612.D 设 B= ,则 ADC=2 ,在 ADC 中,由 ,=2所以 AC=8cos ,在 ABC 中,由 ,可得 ,= 92 8= 92所以 16cos2= 9,可得 cos = ,34所以 AC=8 =6.故选 D.3413.150 在 Rt ABC 中, CAB=45,BC=100 m,所以 AC=100 m.2在 AMC 中, MAC=75, MCA=60,从而 AMC=45,由正弦定理,得 ,因45= 60此 AM=100 m.3在 Rt MNA 中, AM=100 m, MAN=60,由 =sin 60,3得 MN=100 =150(m).332
14、14.解 (1)由正弦定理可得 =2R= ,= 433=2R= + 433.6(2)由正弦定理可得 ,60=433c= 2.由余弦定理可得 22=a2+b2-2abcos 60,化为 a2+b2-ab=4.又 a+b=ab, (a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得 ab=4. ABC 的面积 S= absin C= 4sin 60=12 12 3.15.C 如图,取 BC 的中点 D,连接 PD,则 PD=4.设 BD=x,则 PB=PC= 由余弦定理可得,(2 x)2=(2+16.)+( )2-2( )2cos BPC,解得 x=3(负值舍去) .则 B - ,-2 ,C ,-2
15、,故2+16 2+16 2+1652 72BP,CP 的中点都是 f(x)图象的对称中心 .16.解 (1) f(x)= sin x- 2sin2 +m= sin x- 1+cos x+m32 3=2sin -1+m.(+6)依题意 =3, = ,2 23所以 f(x)=2sin -1+m.(23+6)当 x0,时, sin 1,623+656,12 (23+6)所以 f(x)的最小值为 m.依题意, m=0.所以 f(x)=2sin -1.(23+6)(2)因为 f(C)=2sin -1=1,所以 sin =1.(23+6) (23+6)而 ,623+656所以 解得 C=23+6=2. 2.在 Rt ABC 中,因为 A+B= ,2sin2B=cos B+cos(A-C),2所以 2cos2A-sin A-sin A=0,解得 sin A=-152 .因为 0sin A1,所以 sin A=5-12 .
