1、1课时规范练 22 三角恒等变换一、基础巩固组1.函数 f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是( )3 3A. B.2C. D.2322.已知 sin ,则 cos =( )(+5)=33 (2+25)A. B.13 33C. D.23 323.已知 2sin 2= 1+cos 2 ,则 tan 2= ( )A. B.-43 43C. 或 0 D.- 或 043 434.(2017河南郑州三模,理 4)已知 cos =- ,则 sin 的值等于( )(23-2) 79 (6+)A. B.13 13C.- D.19 195.已知 f(x)=sin2x+s
2、in xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.,0,B.2, -4,34C., -8,38D.2, -4,46.为了得到函数 y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数 y=cos 2x-sin 2x的图象( )A.向右平移 个单位长度4B.向左平移 个单位长度4C.向右平移 个单位长度2D.向左平移 个单位长度27.设 f(x)= +sin x+a2sin 的最大值为 +3,则实数 a= . 1+22(2-) (+4) 228.(2017江苏无锡一模,12)已知 sin = 3sin ,则 tan = .(+6) (+12)9.(2017山东,理 16)
3、设函数 f(x)=sin +sin ,其中 00,0 0),若存在实数 x0,使得对任意的实数 x,都有3f(x0) f(x) f(x0+2 016)成立,则 的最小值为( )A. B.12 016 14 032C. D.12 016 14 03213.已知 cos = ,cos(+ )=- ,且 , ,则 cos(- )的值为 . 13 13 (0,2)14.(2017山东潍坊一模,理 16)在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,已知 A为锐角,且 bsin Acos C+csin Acos B= a.32(1)求角 A的大小;3(2)设函数 f(x)=tan Asin x
4、 cos x- cos 2x ( 0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,12 2将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间4上的值域 .-24,4导学号 21500724三、创新应用组15.已知 m= ,若 sin 2(+ )=3sin 2 ,则 m= ( )(+)(-+)A.-1 B.34C. D.2 导学号 215007253216.已知函数 f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a,且当 x 时, f(x)的最小值为 2.3 0,2(1)求 a的值,并求 f(x)的单调递增区间;(2)先将函数 y=f(x)的图象上
5、的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象向右平移 个12 12单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4在区间 上所有根之和 .0,2课时规范练 22 三角恒等变换1.B f(x)=2sin 2cos =2sin ,故最小正周期 T= =,故选 B.(+6) (+6) (2+3) 222.A 由题意 sin ,(+5)=33 cos =cos 2 =1-2sin2 =1-2 故选 A.(2+25) (+5) (+5) (33)2=13.3.C 因为 2sin 2= 1+cos 2 ,4所以 2sin 2= 2cos2.所以 2cos (2sin - cos )=0,
6、解得 cos = 0或 tan =12.若 cos = 0,则 =k + ,kZ,2 = 2k +, kZ,2所以 tan 2= 0.若 tan = ,12则 tan 2=21-2=43.综上所述,故选 C.4.B cos =- ,(23-2) 79 cos-(3+2)=-cos(3+2)=-cos 2(6+)=- =- ,1-22(6+) 79解得 sin2 ,(6+)=19 sin = 故选 B.(6+) 13.5.C 由 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x1-22 +12= sin ,12+22(222 222)=12+22 (2-4)则 T= = .又 2k -
7、 2x- 2k + (kZ),22 2 4 2k - x k + (kZ)为函数的单调递增区间 .故选 C.8 386.A y= sin 2x+cos 2x= cos 2 ,y=cos 2x-sin 2x=2(222 + 222)=2 (-8)2(222- 222)= cos 22 (+8)= cos 2 ,2 (+4)-8 只需将函数 y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移 个单位长度可得函数 y=sin 2x+cos 2x的图4象 .7. f(x)= +sin x+a2sin31+22-12 (+4)5=cos x+sin x+a2sin(+4)= sin +a2sin2 (+4)
8、(+4)=( +a2)sin2 (+4).依题意有 +a2= +3,2 2则 a= 3.8.2 -4 sin =3sin3 (+6)= sin + cos ,332 32 tan =32-33.又 tan =tan =2- ,12 (3-4)=3-41+34=3-13+13 tan(+12)=+121+12=32-33+2- 31+ 32-33(2- 3)=3+(2- 3)(2-33)(2-33)-3(2- 3)=- =2 -4.16-834 39.解 (1)因为 f(x)=sin +sin ,(-6) (-2)所以 f(x)= sin x- cos x-cos x= sin x- cos x
9、32 12 32 32=3(12- 32)= sin3 (-3).由题设知 f =0,(6)所以 =k, kZ .63故 =6k+2,kZ,又 0 3,所以 =2.(2)由(1)得 f(x)= sin ,3 (2-3)6所以 g(x)= sin sin3 (+4-3)=3 (-12).因为 x ,-4,34所以 x- ,当 x- =- ,即 x=- 时, g(x)取得最小值 -12-3,23 123 4 32.10.解 (1)函数 f(x)=sin4x+cos4x+ sin 2xcos 2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+ sin 4x=1-32 34sin22x+ s
10、in 4x=1- sin 4x= sin 4x+ cos 4x+ sin ,12 34 12(12-124)+34 34 14 34=12 (4+6)+34f (x)的最小正周期 T=24=2.(2)当 x 时,4 x+ ,0,4 66,76 sin ,(4+6)-12,1当 4x+ 时, f(x)取得最小值为 ,此时 x=6=76 12 4.当 4x+ 时 ,f(x)取得最大值为 ,此时 x=6=2 54 12. 当 x 时, f(x)的最大值为 ,最小值为0,4 54 12.11.D 由题意, T=2,即 T= =2,2即 = 1.又当 x= 时, f(x)取得最大值,6即 += +2k,
11、 kZ,6 2即 = +2k, kZ .3 0 ,= ,2 3f (x)=sin +1.(+3)f ( )=sin +1= ,(+3) 95可得 sin(+3)=45. ,可得 + ,6 23 2 3 cos =-(+3) 35. sin =2sin cos =2 =- 故选 D.(2+23) (+3) (+3) 45(-35) 2425.12.D 由题意可得, f(x0)是函数 f(x)的最小值, f(x0+2 016)是函数 f(x)的最大值 .7显然要使结论成立,只需保证区间 x0,x0+2 016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可 .又 f(x)=cos x (sin x+ co
12、s x )= sin 2x+ (1+cos 2x )=sin ,则 2 312 32 (2+3)+32016 ,求得 ,故 的最小值为1222 14 032 14 032.13 , 2 (0,) .2327(0,2) cos = ,13 cos 2= 2cos2- 1=- ,79 sin 2= ,1-22=429又 , ,+ (0,),(0,2) sin(+ )= ,1-2(+)=223 cos(- )=cos 2- (+ )=cos 2 cos(+ )+sin 2 sin(+ )=(-79)(-13)+429223=2327.14.解 (1) b sin Acos C+csin Acos B
13、= a,32 由正弦定理,得 sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B= sin A.32A 为锐角,sin A0, sin Bcos C+sin Ccos B= ,32可得 sin(B+C)=sin A= ,32A=3.(2)A= ,可得 tan A= ,3 3f (x)= sin xcos x- cos 2 x= sin 2 x- cos 2 x=sin312 32 12 (2-6). 其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,可得 T=2 ,2 2=22解得 = 1,f (x)=sin , 将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后,图象对应的函数为 y=g(x)(2-
14、6) 4=sin =sin2(+4)6 (2+3).x ,可得 2x+ ,-24,4 34,56g (x)=sin(2+3)12,1.815.D sin 2(+ )=3sin 2 , sin(+ )-(- )=3sin(+ )-(+- ), sin(+ )cos(- )-cos(+ )sin(- )=3sin(+ )cos(+- )-3cos(+ )sin(+- ),即 -2sin(+ )cos(+- )=-4cos(+ )sin(+- ),tan(+ )=tan(+- ),故 m= =2,故选 D.12 (+)(-+)16.解 (1) f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a=c
15、os 2x+1+ sin 2x+a3 3=2sin +a+1,(2+6)x ,0,2 2x+ ,66,76f (x)的最小值为 -1+a+1=2,解得 a=2,f (x)=2sin +3,(2+6)由 2k - 2x+ 2k + ,kZ,可得 k - x k + ,kZ,2 6 2 3 6f (x)的单调递增区间为 (kZ) .-3,+6(2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin +3,(4-6)由 g(x)=4可得 sin , 4x- =2k + (kZ)或 4x- =2k + (kZ),(4-6)=12 6 6 6 56解得 x= (kZ)或 x= (kZ) .x ,2+12 2+4 0,2x= 或 x= ,12 4 所有根之和为12+4=3.
