1、1课时规范练 46 抛物线基础巩固组1.(2017广西桂林一模,文 4)若抛物线 y2=2px(p0)上的点 A(x0, )到其焦点的距离是点 A到 y轴2距离的 3倍,则 p等于( )A. B.1 C. D.212 322.O为坐标原点, F为抛物线 C:y2=4 x的焦点, P为抛物线 C上一点,若 |PF|=4 ,则 POF的面积2 2为( )A.2 B.2 C.2 D.42 33.过抛物线 y2=4x的焦点作直线 l交抛物线于 A,B两点,若线段 AB中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( )A.2 B.4 C.6 D.84.(2017山西运城模拟)已知抛物线 x2=ay与直线 y=2
2、x-2相交于 M,N两点,若 MN中点的横坐标为 3,则此抛物线方程为( )A.x2= y B.x2=6y32C.x2=-3y D.x2=3y5.(2017河北张家口 4月模拟,文 6)已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线交于A,B两点,若 |AB|=6,则线段 AB的中点 M的横坐标为( )A.2 B.4 C.5 D.66.(2017河南洛阳一模,文 11)已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x相交于 A,B两点, F为抛物线 C的焦点,若 |FA|=2|FB|,则点 A到抛物线的准线的距离为 ( )A.6 B.5 C.4 D.37.如图,过抛物
3、线 y2=2px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l于点 C,若 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2= x38.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y轴的垂线,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 29.已知点 F为抛物线 y2=12x的焦点,过点 F的直线 l与抛物线在第一象限内的交点为 A,过 A作 AH垂直抛物线的准线于 H,若直线 l的倾斜角 ,则 AFH面积的最小值为 . (0,310.(2017广东江门一模,文 1
4、0改编) F是抛物线 y2=2x的焦点,以 F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点 B,若 =4 ,则 = . 导学号 24190944 FBFA FAFB综合提升组11.已知直线 l1:4x-3y+6=0和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A. B.2 C. D.3355 11512.(2017全国 ,文 12)过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上3方), l为 C的准线,点 N在 l上且 MN l,则 M到直线 NF的距离为 ( )A. B.2 C.2 D.3
5、5 2 3 313.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交抛物线 C于 A,B两点,交 C的准线于 D,E两点 .已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则抛物线 C的焦点到准线的距离为 . 2 514.(2017安徽马鞍山一模,文 20)设动点 P(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离比它到 y轴的距离大 1,记点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C的方程;(2)设 D(x0,2)是曲线 C上一点,与两坐标轴都不平行的直线 l1,l2过点 D,且它们的倾斜角互补 .若直线 l1,l2与曲线 C的另一交点分别是 M,N,证明直线 MN的斜率为定值 .导学号 24190945创新应用组15.(201
6、7山东菏泽一模,文 15)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,以抛物线 C上的点 M(x0,2为圆心的圆与 y轴相切,与线段 MF相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,若2)(x0p2) p2 3=2,则 |AF|= . |MA|AF|16.(2016吉林东北师大附中二模,文 20)已知抛物线 C:y= x2,直线 l:y=x-1,设 P为直线 l上的动点,过12点 P作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B.(1)当点 P在 y轴上时,求线段 AB的长;3(2)求证:直线 AB恒过定点 .答案：1.D 由题意,3 x0=x0+ ,x 0= ,p2 p4 =2.p2
7、2p 0,p= 2,故选 D.2.C 利用 |PF|=xP+ =4 ,可得 xP=3 .2 2 2y P=2 .S POF= |OF|yP|=2 .故选 C.612 33.D 由题设知线段 AB的中点到准线的距离为 4.设 A,B两点到准线的距离分别为 d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.D 设点 M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,x2=ay,y=2x-2得 x2-2ax+2a=0,所以 =3,即 a=3,x1+x22 =2a2因此所求的抛物线方程是 x2=3y.5.A 抛物线 y2=4x,p= 2.设 A,B两点的横坐标分别为
8、x1,x2,利用抛物线定义, AB中点横坐标为x0= (x1+x2)= (|AB|-p)=2,故选 A.12 126.A 抛物线 C:y2=8x的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)恒过定点 P(-2,0),如图,过点 A,B分别作AM l于点 M,BN l于点 N,由 |FA|=2|FB|,则 |AM|=2|BN|,点 B为 AP的中点 .连接 OB,则 |OB|= |AF|,12|OB|=|BF| ,点 B的横坐标为 1,|BN|= 3,|AM|= 6,故选 A.7.C 如图,分别过点 A,B作 AA1 l于点 A1,BB1 l于点 B1,4由抛物线的定义知, |AF|=|AA1|
9、,|BF|=|BB1|.|BC|= 2|BF|,|BC|= 2|BB1|. BCB1=30, AFx=60.连接 A1F,则 AA1F为等边三角形,过点 F作 FF1 AA1于点 F1,则 F1为 AA1的中点,设 l交 x轴于点 K,则 |KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,12 12 32故抛物线方程为 y2=3x.8.2 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB|=2p=4时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最
10、小值为 2.9.36 设点 A的坐标为( x,y)(y0),直线 l的倾斜角 ,则 x9 .3 (0,3故 AFH的面积 S= (x+3)y.12令 t=S2= (x+3)212x=3x(x+3)2.14则 t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)0,函数 t单调递增 .故当 x=9时, S最小,此时 =39122,即 Smin=36 .S2min 310. 由题意,设点 A的横坐标为 m,过点 A向准线作垂线交垂线于点 C,设准线与 x轴的交点为 D,94则由抛物线的定义, |FA|=m+ ,由 BAC BFD,得 ,m= .12 m+121 =34 14|FA|= ,|
11、FB|=3,34 =|FA|FB|= .FAFB9411.B 由题可知 l2:x=-1是抛物线 y2=4x的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P到 l2的距离等于 |PF|,则动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值,即焦点 F到直线 l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是 =2.|4-0+6|5512.C 由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l的方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛物线3y2=4x联立,消去 y得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3.13因为 M在 x轴的上方,所以 M(3,2 ).3因为 MN l,且 N
12、在 l上,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1).3所以 M到直线 NF的距离为 =2 .|3(3-1)+23|(- 3)2+12 313.4 不妨设抛物线 C的方程为 y2=2px(p0),圆的方程为 x2+y2=R2.因为 |AB|=4 ,2所以可设 A(m,2 ).2又因为 |DE|=2 ,5所以 解得 p2=16.R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm, 故 p=4,即 C的焦点到准线的距离是 4.14.(1)解 由题意知,点 P的轨迹方程是以 F(1,0)为焦点,以 x=-1为准线的抛物线,故曲线 C的方程为 y2=4x.(2)证明 由
13、 D(x0,2)在曲线 C上,得 4=4x0,则 x0=1,从而 D(1,2).设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l1:y=k(x-1)+2,则 l2:y=-k(x-1)+2,由 得 k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,y=k(x-1)+2,y2=4x x 11= ,(k-2)2k2 =k2-4k+4k2同理 x2= .k2+4k+4k2x 1+x2= ,x1-x2=- .2k2+8k2 8ky 1-y2=k(x1+x2)-2k= .8kk MN= =-1,直线 MN的斜率为定值 -1.y1-y2x1-x2= 8k-8k15.1 由抛物线的定义得 |MF|=x0+
14、.p26 圆与 y轴相切, |MA|=x 0. 圆被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,圆心到直线 x= 的距离为 |MA|,p2 3 p2 |MA|2-(32|MA|)2=12|MA|= 2 ,(x0-p2) 2 =x0,解得 x0=p.(x0-p2)M (p,2 ), 2p2=8,p= 2.2 =2,|AF|= |MA|= p=1.|MA|AF| 12 1216.(1)解 设 A ,B ,y= x2的导数为 y=x,以 A为切点的切线方程为 y- =x1(x-x1),(x1,12x21) (x2,12x22) 12 12x21整理得 y=x1x- ,12x21同理,以 B为切点的切线方程为
15、 y=x2x- ,代入 P(0,-1),得 =2(x1x20),可得 |AB|=|x1-12x22 x21=x22x2|=2 .2(2)证明 设 P(x,y),由(1)得 y=x1x-12x21,y=x2x-12x22,可得 P .(x2+x12 ,x1x22)由已知直线 AB的斜率必存在,设直线 AB的方程为 y=kx+b,y=kx+b,y=12x2, 可得 x2-2kx-2b=0,即有 x1+x2=2k,x1x2=-2b,可得 P(k,-b),由点 P在直线 y=x-1上,可得 b=1-k,则直线 AB的方程为 y=kx+(1-k),即 k(x-1)-y+1=0,则直线 AB过定点(1,1) .
