1、1课时规范练 45 双曲线基础巩固组1.已知双曲线 =1(a0)的离心率为 2,则 a=( )x2a2-y23A.2B.62C.52D.12.(2017 辽宁抚顺重点校一模,文 8)当双曲线 M: =1(-2 m0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1作 x 轴的x2a2-y2b2垂线交双曲线于 A,B 两点,若 AF2B0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆( x-2)2+y2=3 相切,则x2a2-y2b2双曲线的方程为( )A. =1x29-y213B. =1x213-y29C. -y2=1x232D.x2- =1y235.已知 M(x0,y0)是双曲线 C
2、: -y2=1 上的一点, F1,F2是 C 的两个焦点 .若 0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2x2a2-y2b2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A. =1x216-y29B. =1x23-y24C. =1x29-y216D. =1x24-y237.(2017 天津,文 5)已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上, OAFx2a2-y2b2是边长为 2 的等边三角形( O 为原点),则双曲线的方程为( )A. =1x24-y212B. =1x212-y24C. -y2=1x23D.x2- =1y23
3、38.(2017 安徽淮南一模,文 11)已知点 F1,F2是双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点, O 为坐标x2a2-y2b2原点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足 |F1F2|=2|OP|,|PF1|3 |PF2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )A.(1,+ )B.102,+ )C.(1,102D. 导学号 24190786(1,529.(2017 辽宁大连一模,文 15)过双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与渐近线x2a2-y2b2有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 . 10.已知方程 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4
4、,则 n 的取值范围是 x2m2+n- y23m2-n. 11.(2017 江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线=1 的右焦点,则双曲线的离心率为 . x2a2-y23综合提升组12.(2017 辽宁沈阳一模,文 5)设 F1和 F2为双曲线 =1(a0,b0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)x2a2-y2b2是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( )A.y= x33B.y= x3C.y= x217D.y= x21313.(2017 广西桂林一模,文 11)已知双曲线 C: =1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),圆
5、F:(x-c)x2a2-y2b22+y2=c2,直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直且在 x 轴上的截距为 a.若圆 F 被直线 l 所截得的弦长23为 c,则双曲线的离心率为 ( )423A.434B.53C.2D.3 导学号 2419078714.(2017 河北张家口 4 月模拟,文 12)已知 A,B 为双曲线 =1(a0,b0)的左、右顶点, F1,F2为x2a2-y2b2其左、右焦点,双曲线的渐近线上一点 P(x0,y0)(x00)满足 =0,且 PBF1=45,则双曲PF1PF2线的离心率为( )A. B.2 3C. D.5+12 515.(2017 江苏,8)在平面直角坐标
6、系 xOy 中,双曲线 -y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点x23P,Q,其焦点是 F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是 . 16.(2017 山东,文 15)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛x2a2-y2b2物线 x2=2py(p0)交于 A,B 两点,若 |AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 创新应用组17.(2017 石家庄二中模拟,文 12)已知直线 l1与双曲线 C: =1(a0,b0)交于 A,B 两点,且 ABx2a2-y2b2中点 M 的横坐标为 b,过点 M 且与直线 l1垂直的直线 l
7、2过双曲线 C 的右焦点,则双曲线的离心率为( )A.1+ 52B.1+ 52C.1+ 32D. 导学号 241907881+ 3218.(2017 湖北武昌 1 月调研,文 11)已知 F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点, M 是它们的一个公共点,且 |MF1|MF2|,线段 MF1的垂直平分线过点 F2,若椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,则的最小值为 ( )2e1+e22A.6B.3C. 6D. 35答案：1.D 由已知得 =2,且 a0,解得 a=1,故选 D.a2+3a2.C 由题意, c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当 m=-1 时,焦距 2c 取得最小值,则双
8、曲线的方程为 x2- =1,其y24渐近线方程为 y=2x.3.A 由题意,将 x=-c 代入双曲线的方程,得 y2=b2 ,(c2a2-1)=b4a2|AB|= .2b2a 过焦点 F1且垂直于 x 轴的弦为 AB, AF2B1.b2a2c0,b0)的渐近线方程为 y= x.x2a2-y2b2 ba因为该双曲线的渐近线与圆( x-2)2+y2=3 相切,所以 ,2|ba|1+(ba)2= 3解得 b2=3a2.又因为 c2=a2+b2=4,所以 a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为 x2- =1.y235.A 由条件知 F1(- ,0),F2( ,0),3 3 =(- -x0,-y0),
9、 =( -x0,-y0),MF1 3 MF2 3 -30,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且 OAF 是边长为x2a2-y2b22 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y= x 上,ba 解得c=2,ba=tan60,a2+b2=c2, a=1,b= 3. 双曲线的方程为 x2- =1.y23故选 D.8.C 由 |F1F2|=2|OP|,可得 |OP|=c,则 PF1F2为直角三角形,且 PF1 PF2,可得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a.又 |PF1|3 |PF2|,所以 |PF2| a,所以( |
10、PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为( |PF2|+a)2=2c2-a2,即有 2c2-a24 a2,可得 c a,102由 e= 1 可得 10,解得 -1 1,e= 2,故选 C.14.D 满足 =0,PF1PF2PF 1 PF2.|PO|= |F1F2|=c.12由双曲线的渐近线方程 y=- x,ba将点 P(x0,y0)代入得 bx0+ay0=0. 又在 Rt PAO 中, |PA|2+|AO|2=|PO|2,即 =c2. x20+y20联立 解得 P(-a,b),则 PA AB.又 PBF1=45,则 |PA|=|AB|,即有 b=2a,可得 c= a,a2+b2= 5则
11、e= .ca= 5故选 D.815.2 该双曲线的右准线方程为 x= ,两条渐近线方程为 y= x,得 P ,Q3310=31010 33 (31010,3010)(31010, -3010)又 c= ,所以 F1(- ,0),F2( ,0),四边形 F1PF2Q 的面积 S=2 =2 .10 10 10 103010 316.y= x 抛物线 x2=2py 的焦点 F ,准线方程为 y=- .22 (0,p2) p2设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AF|+|BF|=y1+ +y2+p2 p2=y1+y2+p=4|OF|=4 =2p.p2所以 y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方
12、程得 x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去 x,得 a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以 y1+y2= =p,2pb2a2所以 .b2a2=12所以该双曲线的渐近线方程为 y= x.2217.B 解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,yM),由x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,得 =0,(x1-x2)(x1+x2)a2 -(y1-y2)(y1+y2)b2又y1-y2x1-x2=kl1= - 1kl2=c-byM,x1+x2=2b,y1+y2=2yM, 9代入上式得 a2=bc,即 a4=(c2-a2)c2,有 e4-e2-1=0,得 e= .1
13、+ 52解法二:设 M(b,d),则 kOM= ,db则由双曲线中点弦的斜率公式 kABkOM= ,得 kAB= ,b2a2 b3a2d 过点 M 且与直线 l1垂直的直线 l2过双曲线 C 的右焦点, =kMF= ,kAB =-1,kl2db-c kl2即 =-1,化简得 bc=a2.b3a2ddb-c c=a2,e4-e2-1=0,e= .c2-a21+ 5218.A 设椭圆方程为 =1(a1b10),双曲线方程为 =1(a20,b20).x2a21+y2b21 x2a22-y2b22 线段 MF1的垂直平分线过点 F2,|F 1F2|=|F2M|=2c.又 |F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,|F 1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得 a1-a2=2c,2e1+e22=2a1c+ c2a2=4a1a2+c22ca2 =4(2c+a2)a2+c22ca2=4+ 4 +2=6,2a2c+ c2a2当且仅当 时等号成立,2a1c= c2a2 的最小值为 6.2e1+e22
