1、1课时规范练 37 空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.(2017 河南南阳一模,文 3)设直线 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列事件是必然事件的是 ( )A.若 m ,n ,m n,则 B.若 m ,n ,m n,则 C.若 m ,n ,m n,则 D.若 m ,n ,m n,则 3.(2017 江西宜春中学 3 月模拟,文 10)已知 m,n 是两条不同直线, , , 是三个不同平面,下列命题正确的是
2、( )A.若 m ,n ,则 m n B.若 , ,则 C.若 m ,m ,则 D.若 m ,n ,则 m n4.(2017 河南濮阳一模,文 4)已知 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不重合的平面 .命题 p:若 =m ,m n,则 n ;命题 q:若 m ,m , =n ,则 m n.那么下列命题中的真命题是( )A.p qB.p( q)C.( p) qD.( p)( q)5.如图所示, ABCD-A1B1C1D1是长方体, O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O
3、不共面D.B,B1,O,M 共面 导学号 241907696.设 l 是直线, , 是两个不同的平面,( )A.若 l ,l ,则 B.若 l ,l ,则 C.若 ,l ,则 l 2D.若 ,l ,则 l 7.(2017 江西宜春二模,文 15)在三棱锥 P-ABC 中, PA,PB,PC 两两互相垂直,且 AB=4,AC=5,则 BC 的取值范围是 . 8.如图,在三棱锥 A-BCD 中, AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是 . 综合提升组9.(2017 辽宁大连一模,文 5)下列命题错误的是( )A.
4、若平面 外的直线 a 不平行于平面 ,则平面 内不存在与 a 平行的直线B.如果平面 平面 ,平面 平面 , =l ,那么直线 l平面 C.如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交 导学号 2419077010.(2017 福建厦门二模)过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 作平面 ,使得正方体的各棱与平面 所成的角均相等,则满足条件的平面 的个数是( )A.1 B.4 C.6 D.811.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, 平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABB1A1=n
5、,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 1312. , 是两个平面, m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 m n,m ,n ,那么 . 如果 m ,n ,那么 m n. 如果 ,m ,那么 m . 如果 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 导学号 24190771 创新应用组13.直三棱柱 ABC-A1B1C1中, BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 301
6、0 2214.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时, AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成 60角时, AB 与 b 成 60角;3 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 导学号 24190772 答案：1.A “两条直线为异面直线”“两条直线无公共点” .“两直线无公共点”“两直线异面或平行” .故选 A.2.D 若 m ,n
7、,m n,则 , 位置关系不确定,故不正确;若 m ,则 中存在直线 c 与 m 平行, m n,n ,则 c ,c , ,不正确;若 m ,n ,m n,则 , 可以相交,不正确;若 m ,m n,则 n ,n , ,正确,故选 D.3.D m,n 平行于同一个平面, m,n 可能相交、平行、异面,故 A 错误; , 垂直于同一个平面 , , 可能相交,可能平行,故 B 错误; , 平行于同一条直线 m,故 , 可能相交,可能平行,故 C 错误;垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确 .4.C 垂直平面内的一条直线,不能确定直线与平面垂直,所以命题 p 是假命题;命题 q 满足直线与平
8、面平行的性质定理,所以命题 q 是真命题,所以 p 是真命题,可得( p) q 是真命题 .5.A 连接 A1C1,AC,则 A1C1 AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面 .所以 A1C平面 ACC1A1.因为 M A1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 .同理 A,O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,所以 A,M,O 三点共线 .6.B 设 =a ,若直线 l a,且 l ,l ,则 l ,l ,因此 不一定平行于 ,故 A 错误;由于 l ,故在 内存在直线 l l,又因为 l ,所以 l
9、,故 ,所以 B 正确;若 ,在 内作交线的垂线 l,则 l ,此时 l 在平面 内,因此 C 错误;已知 ,若 =a ,l a,且 l 不在平面 , 内,则 l 且 l ,因此 D 错误 .7.(3, ) 如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为 x,y,z,且 x2+y2=16,x2+z2=25,求41的取值范围,转化为 y2+z2=41-2x2,y2+z2x 2+y2=16, 0x4, 41-2x2(9,41),即 BC 的取值范围是(3, ).4148. 如下图所示,连接 ND,取 ND 的中点 E,连接 ME,CE,则 ME AN,78则异面直线 AN,CM 所成的角即为 EMC.由
10、题可知 CN=1,AN=2 ,2ME= .2又 CM=2 ,DN=2 ,NE= ,2 2 2CE= ,3则 cos CME=CM2+EM2-CE22CMEM= .8+2-32222=789.C 对于选项 A,如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ,则 a 与 相交,则 内不存在与 a 平行的直线,故 A 正确;对于选项 B,如图, , =a , , =b , =l ,在 内取一点 P,过 P 作 PA a 于点 A,作 PB b 于点 B,由面面垂直的性质可得 PA l,PB l,则 l ,故 B 正确;对于选项 C,如果平面 平面 ,那么平面 内的直线与平面 有两种位置关系:平行、相交,故
11、C 错误;对于选项 D,一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故 D 正确 .故选 C.10.B 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,与 AA1,AD,AB 平行的直线各有 3 条, AA1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱锥, AA1,AD,AB 与平面 A1DB 所成角相等, 满足条件的平面有 4 个,故选 B.11.A (方法一) 平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1, 平面 ABB1A1=n,平面
12、CB1D1平面 DCC1D1=CD1,n CD1.B 1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角,即 B1D1C 等于 m,n 所成的角 . B1D1C 为正三角形, B1D1C=60,m ,n 所成的角的正弦值为 .325(方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角 .因为 AEF 是正三角形,所以 EAF=60,故 m,n 所成角的正弦值为 .3212. 对于 ,若 m n,m ,n
13、 ,则 , 的位置关系无法确定,故错误;对于 ,因为n ,所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 n c.因为 m ,所以 m c,所以 m n,故 正确;对于 ,由两个平面平行的性质可知正确;对于 ,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有 .13.C 取 BC 中点 D,连接 MN,ND,AD,由于 MN B1C1 BD,12因此 ND BM,则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角(或其补角),设 BC=2,则BM=ND= ,AN= ,AD= ,因此 cos AND= .6 5 5ND2+NA2-AD22NDNA = 301014.
14、由题意, AB 是以 AC 为轴, BC 为底面半径的圆锥的母线,由 AC a,AC b,得 AC圆锥底面,在底面内可以过点 B,作 BD a,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接 DE,则 DE BD,DE b.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD= ,当直线 AB 与 a 成 60角时, ABD=60,故2BD= .又在 Rt BDE 中, BE=2,DE= ,过点 B 作 BF DE,交圆 C 于点 F,连接 AF,由圆的对称性可2 2知 BF=DE= , ABF 为等边三角形,2 ABF=60,即 AB 与 b 成 60角, 正确, 错误 .由最小角定理可知 正确;很明显,可以满足直线 a平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90, 错误 .故正确的说法为 .
