1、1课时规范练 23 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是( )A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( )a|a|= b|b|A.a=-b B.abC.a=2b D.ab,且 |a|=|b|3.设 D 为 ABC 所在平面内一点, =3 ,则( )BCCDA. =- B.AD13AB+43AC AD=13AB-43ACC. D.AD=43AB+13AC AD=43AB-13AC4.(2017 北
2、京丰台一模)设 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的点,且 AE= AB,BF= BC.如果12 23+n (m,n 为实数),那么 m+n 的值为( )EF=mABACA.- B.0 C. D.112 125.设向量 a,b 不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b.若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是( )AB BC CDA.-2 B.-1 C.1 D.26.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 +2 =3 ,则 的值为( )OAOCOB|BC|AB|A. B. C. D.12 13 14 167.在四边形 ABCD 中, O 是四边形 ABCD 内
3、一点, =a, =b, =c, =a-b+c,则四边形 ABCD 的形状为( )OA OB OC ODA.梯形 B.正方形C.平行四边形 D.菱形8.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的三等分点, =a, =b,则 =( )AB AC AD2A.a- b B. a-b12 12C.a+ b D. a+b导学号 2419074712 129.若点 M 是 ABC 所在平面内的一点,且满足 5 +3 ,则 ABM 与 ABC 的面积比为 AM=ABAC. 10.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 ),则 的夹角为 . AO=12(AB+AC AB与 AC11.已知 D
4、为 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 =0, = ,则实数 的值为 PA+BP+CP AP PD. 12.在任意四边形 ABCD 中, E,F 分别是 AD,BC 的中点,若 = + ,则 += . EF AB DC综合提升组13.在 ABC 中, D 是 AB 边上的一点, = ,| |=2,| |=1.若 =b, =a,则用 a,b 表示CD (CA|CA| + CB|CB|) CA CB CA CB为( )CDA. a+ b B. a+ bCD=23 13 CD=13 23C. a+ b D. a+ b导学号 24190748CD=13 13 CD=23 2314.在 ABC 中
5、,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 =x +(1-x) ,则实数 x 的取值范AOAB AC围是( )A.(- ,0) B.(0,+ )C.(-1,0) D.(0,1)15.A,B,C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点 O,存在实数 t 使得 =t + OCOA.OB16.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,且 a+b 与 c 共线,b +c 与 a 共线,则 a+b+c= . 3创新应用组17.已知 A,B,C 三点不共线,且点 O 满足 =0,则下列结论正确的是( )OA+OB+OCA.OA=13AB+23BCB.OA=23AB+13BCC.
6、OA=13AB-23BCD. =- 导学号 24190749OA23AB-13BC18.(2017 安徽马鞍山质检)已知 ABC 是边长为 4 的正三角形, D,P 是 ABC 内的两点,且满足), ,则 APD 的面积为( )AD=14(AB+ACAP=AD+18BCA. B.34 32C. D.23 3答案：1.C 对于 A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故 A 不正确;对于 B,单位向量的模为 1,其方向可以是任意方向,故 B 不正确;对于 C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故 C 正确;对于 D,由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确 .故选 C
7、.2.C 因为 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,所以只要 a 与 b 同向即可,观a|a| b|b|察可知 C 满足题意 .3.A )=- .故选 A.AD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB 13AB+43AC4.C 如图, =- =- )=- .EF=EA+AC+CF12AB+AC-13BC12AB+AC-13(BA+AC 16AB+23AC =m +n ,EFABACm=- ,n= ,16 234m+n= .故选 C.125.B =a+b, =a-2b,BC CD =2a-b.BD=BC+CD又 A,B,D 三点共线, 共线 .
8、设 = ,AB,BD AB BD则 2a+pb= (2a-b).即 2=2 ,p=-. 解得 = 1,p=-1.6.A 由 +2 =3 ,得 =2 -2 ,即 =2 ,所以 .故选 A.OAOCOB OA-OBOBOC BACB|BC|AB|=127.C 因为 =a-b+c,所以 =c-b.OD AD=OD-OA又 =c-b,BC=OC-OB所以 且 | |=| |,AD BC AD BC所以四边形 ABCD 是平行四边形 .8.D 连接 CD(图略),由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD AB,且 a,所以CD=12AB=12=b+ a.AD=AC+CD129. 如图,设 AB 的中点
9、为 D.35由 5 +3 ,AM=ABAC得 3 -3 =2 -2 ,AMACADAM即 3 =2 ,CMMD5故 C,M,D 三点共线,且 ,也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 上的两高之比为 3 5,故MD=35CDABM 与 ABC 的面积比为 .3510.90 由 ),得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径,即 BAC=90,故 的夹AO=12(AB+AC AB与 AC角为 90.11.-2 如图,由 = ,且 =0,得 P 为以 AB,AC 为邻边的平行四边形的顶点,因此AP PD PA+BP+CP=-2 ,故 =- 2.AP PD12.1 如图,因为 E,F 分
10、别是 AD 与 BC 的中点,所以 =0, =0.EA+ED BF+CF又因为 =0,AB+BF+FE+EA所以 . EF=AB+BF+EA同理 . EF=ED+DC+CF由 + ,得 2 +( )+( )= ,所以 ),EF=AB+DCEA+ED BF+CFAB+DC EF=12(AB+DC所以 = ,= .所以 += 1.12 1213.A 由题意,得 CD 是 ACB 的平分线,则 )= a+ b,故选 A.CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA23CB+13CA=23 1314.A 设 = ( 1),BO BC则 + =(1- ) + .AO=AB+BO=AB BC
11、AB AC6又 =x +(1-x) ,所以 x +(1-x) =(1- ) + .AOAB AC AB AC AB AC所以 = 1-x1,解得 x0.15.(1-t) 根据共线向量定理知, A,B,C 三点共线的充要条件是存在实数 t 使得 =t ,即BCBA=t( ),即 =t +(1-t) .OC-OB OA-OB OCOA OB16.0 因为 a+b 与 c 共线,所以 a+b= 1c. 又因为 b+c 与 a 共线,所以 b+c= 2a. 由 得 b= 1c-a.所以 b+c=( 1+1)c-a= 2a,所以 1+1=0, 2= -1,即 1= -1, 2= -1.所以 a+b+c=
12、-c+c=0.17.D =0,OA+OB+OCO 为 ABC 的重心, =- )=- )=- )=- (2 )=- ,故选 D.OA2312(AB+AC 13(AB+AC 13(AB+AB+BC 13 AB+BC 23AB-13BC18.A 取 BC 的中点 E,连接 AE,因为 ABC 是边长为 4 的正三角形,所以 AE BC, ).AE=12(AB+AC又 ),所以点 D 是 AE 的中点, AD= .取 ,以 AD,AF 为邻边作平行四边形,可AD=14(AB+AC 3 AF=18BC知 .因为 APD 是直角三角形, AF= ,所以 APD 的面积为AP=AD+18BC=AD+AF 12.1212 3= 34
