1、1课时规范练 21 三角恒等变换基础巩固组1.函数 f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是( )3 3A. B.2C. D.2322.(2017安徽蚌埠一模,文 3)已知 sin ,则 cos =( )( +5)= 33 (2 +25)A. B.13 33C. D.23 323.已知 2sin 2= 1+cos 2 ,则 tan 2= ( )A. B.-43 43C. 或 0 D.- 或 043 434.已知 cos =- ,则 sin 的值等于 ( )(23-2 ) 79 (6+ )A. B. C.- D.13 13 19 195.已知 f(x)=s
2、in2x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.,0, B.2, -4,34C., D.2,-8,38 -4,46.(2017湖北武汉二月调考,文 9)为了得到函数 y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数 y=cos 2x-sin 2x的图象( )A.向右平移 个单位长度4B.向左平移 个单位长度4C.向右平移 个单位长度2D.向左平移 个单位长度227.设 f(x)= +sin x+a2sin 的最大值为 +3,则实数 a= . 1+cos2x2sin(2-x) (x+4) 28.(2017江苏无锡一模,12)已知 sin = 3sin ,
3、则 tan = .( +6) ( +12)9.(2017北京东城一模,文 15)已知点 在函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上 .(4,1)(1)求 a的值和 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在(0,)上的单调减区间 .导学号 2419074310.(2017山东潍坊二模,文 17)已知函数 f(x)=2 sin cos x (00,0 0),若存在实数 x0,使得对任意的实数 x,都3有 f(x0) f(x) f(x0+2 016)成立,则 的最小值为( )A. B.12 016 14 032C. D. 导学号 2419074412 016 14 032
4、13.已知 cos = ,cos(+ )=- ,且 , ,则 cos(- )的值为 . 13 13 (0,2)14.(2017山东潍坊一模,文 16)在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,已知 A为锐角,且 bsin Acos C+csin Acos B= a.32(1)求角 A的大小;(2)设函数 f(x)=tan Asin x cos x- cos 2x ( 0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,12 2将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间4上的值域 .-24,44导学号 24190745创新应用组15.
5、(2017福建福州一模,文 10)已知 m= ,若 sin 2(+ )=3sin 2 ,则 m=( )tan( + + )tan( - + )A.-1 B. C. D.234 3216.(2017辽宁沈阳一模,文 17)已知函数 f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a,且当 x 时, f(x)的3 0,2最小值为 2.(1)求 a的值,并求 f(x)的单调递增区间;(2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象向右平移 个单12 12位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4在区间 上所有根之和 .0,25答案：1.B f(
6、x)=2sin 2cos =2sin ,故最小正周期 T= =,故选 B.(x+6) (x+6) (2x+3) 222.A 由题意 sin ,( +5)= 33 cos =cos 2 =1-2sin2 =1-2 .故选 A.(2 +25) ( +5) ( +5) (33)2=133.C 因为 2sin 2= 1+cos 2 ,所以 2sin 2= 2cos2.所以 2cos (2sin - cos )=0,解得 cos = 0或 tan = .12若 cos = 0,则 =k + ,kZ,2 = 2k +, kZ,2所以 tan 2= 0.若 tan = ,12则 tan 2= .2tan1-
7、tan2 =43综上所述,故选 C.4.B cos =- ,(23-2 ) 79 cos -(3+2 )=-cos(3+2 )=-cos 2(6+ )=- =- ,1-2sin2(6+ ) 79解得 sin2 ,(6+ )=19 sin = .故选 B.(6+ ) 135.C 由 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x1-cos2x2 +126= sin ,12+ 22(22sin2x - 22cos2x)=12+ 22 (2x-4)则 T= = .又 2k - 2 x- 2 k + (kZ),22 2 4 2k - x k + (kZ)为函数的单调递增区间 .故选 C.8
8、 386.A y= sin 2x+cos 2x= cos 2 ,y=cos 2x-sin 2x=2(22sin2x + 22cos2x)= 2 (x-8)2(22cos2x- 22sin2x)= cos 22 (x+8)= cos 2 ,2 (x+4)-8 只需将函数 y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移 个单位长度可得函数 y=sin 2x+cos 2x的图4象 .7. f(x)= +sin x+a2sin31+2cos2x-12cosx (x+4)=cos x+sin x+a2sin(x+4)= sin +a2sin2 (x+4) (x+4)=( +a2)sin .2 (x+4)依
9、题意有 +a2= +3,2 2则 a= .38.2 -4 sin = 3sin3 ( +6)= sin + cos ,332 32 tan = .32-33又 tan =tan =2- ,12 (3-4)= tan3-tan41+tan3tan4= 3-13+1 3 tan( +12)= tan +tan121+tan tan127=32-33+2- 31+ 32-33(2- 3)=3+(2- 3)(2-33)(2-33)-3(2- 3)=- =2 -4.16-834 39.解 (1)函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x. 图象过点 ,(4,1)
10、即 1=asin +cos ,可得 a=1.2 2f (x)=sin 2x+cos 2x= sin .2 (2x+4) 函数的最小正周期 T= = .22(2)由 2k + 2 x+ +2k, kZ,2 4 32可得 k + x +k, kZ .8 58函数 f(x)的单调减区间为 ,kZ .k +8,58+k x (0,),当 k=0时,可得单调减区间为 .8,5810.解 (1)函数 f(x)=2 sin cos x3 (x +6)= +2 cos x cos x= sin .(2 3sinx 32 3 12) 3 (2x +6)+ 32f (x)的图象过点 ,(512,32) sin ,
11、 2 =k, kZ,3 (2 512+6)+ 32= 32 512+6即 = .6k-15再结合 0 2,可得 = 1,f (x)= sin ,故它的最小正周期为 = .3 (2x+6)+ 32 228(2)将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)= sin 的图象 .由6 3 (2x-6)+ 32已知 g sin ,(2)=536 = 3 ( -6)+ 32 sin ,( -6)=13 cos(2 -3)=1-2sin2 .( -6)=7911.D 由题意, T=2,即 T= =2,2即 = 1.又当 x= 时, f(x)取得最大值,6即 += +2k, kZ,6
12、2即 = +2k, kZ .3 0 ,= ,2 3f (x)=sin +1.(x+3)f ( )=sin +1= ,( +3) 95可得 sin .( +3)=45 ,可得 + ,6 23 2 3 cos =- .( +3) 35 sin =2sin cos =2 =- .故选 D.(2 +23) ( +3) ( +3) 45(-35) 242512.D 由题意可得, f(x0)是函数 f(x)的最小值, f(x0+2 016)是函数 f(x)的最大值 .显然要使结论成立,只需保证区间 x0,x0+2 016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可 .又 f(x)=cos x (sin x+
13、cos x )= sin 2x+ (1+cos 2x )=sin ,则312 32 (2x +3)+ 322 016 ,求得 ,故 的最小值为 .1222 14 032 14 032913. , 2 (0,) .2327 (0,2) cos = ,13 cos 2= 2cos2- 1=- ,79 sin 2= ,1-cos22 =429又 , ,+ (0,),(0,2) sin(+ )= ,1-cos2( + )=223 cos(- )=cos 2- (+ )=cos 2 cos(+ )+sin 2 sin(+ )= .(-79)(-13)+429 223 =232714.解 (1) b si
14、n Acos C+csin Acos B= a,32 由正弦定理,得 sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B= sin A.32A 为锐角,sin A0, sin Bcos C+sin Ccos B= ,32可得 sin(B+C)=sin A= ,32A= .3(2)A= ,可得 tan A= ,3 3f (x)= sin x cos x- cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin .312 32 12 (2x -6) 其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,可得 T=2 ,2 2=22解得 = 1,f (x)=sin , 将 y=f(x)的图象向左平移 个单
15、位长度后,图象对应的函数为 y=g(x)(2x-6) 4=sin =sin .2(x+4) -6 (2x+3)10x ,可得 2x+ ,-24,4 3 4,56g (x)=sin .(2x+3) 12,115.D sin 2(+ )=3sin 2 , sin(+ )-(- )=3sin(+ )-(+- ), sin(+ )cos(- )-cos(+ )sin(- )=3sin(+ )cos(+- )-3cos(+ )sin(+- ),即 -2sin(+ )cos(+- )=-4cos(+ )sin(+- ), tan(+ )=tan(+- ),故 m= =2,故选 D.12 tan( + +
16、)tan( - + )16.解 (1) f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a=cos 2x+1+ sin 2x+a3 3=2sin +a+1,(2x+6)x ,0,2 2x+ ,6 6,76f (x)的最小值为 -1+a+1=2,解得 a=2,f (x)=2sin +3,(2x+6)由 2k - 2 x+ 2 k + ,kZ,可得 k - x k + ,kZ,2 6 2 3 6f (x)的单调递增区间为 (kZ) .k -3,k +6(2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin +3,(4x-6)由 g(x)=4可得 sin , 4x- =2k + (kZ)或 4x- =2k + (kZ),(4x-6)=12 6 6 6 56解得 x= (kZ)或 x= (kZ) .x ,k2+12 k2+4 0,2x= 或 x= ,12 4 所有根之和为 .12+4=3
