1、高 三 数 学 ( 理 科 ) 一 诊 答 案 第 1 页 ( 共 4 页 ) 南 充 市 高 2 0 1 9 届 第 一 次 高 考 适 应 性 考 试 数 学 试 题 ( 理 科 ) 参 考 答 案 及 评 分 意 见 一 、 选 择 题 : 1 . C 2 . A 3 . C 4 . B 5 . B 6 . D 7 . A 8 . A 9 . D 10 . B 11 . C 12 . D 二 、 填 空 题 : 1 3 11 14 7 91 5 ( - , - 1 ) 16 8 6 9 三 、 解 答 题 : 17 解 : ( 1 ) 因 为 a 1 = 1 , a n + 1 = 3
2、a n 所 以 数 列 a n 是 首 项 为 1 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 所 以 a n = 3 n - 1 . 6 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 : b 1 = a 1 + a 2 + a 3 = 1 + 3 + 9 = 13 , b 3 = 9 , 8 分 则 b 3 - b 1 = 2 d = - 4 , d = - 2 , 1 0 分 所 以 S n = 1 3 n + n ( n - 1 ) 2 ( - 2 ) = - n 2 + 1 4 n . 1 2 分 18 解 : ( 1 ) 设 喜 好 体 育 运 动 人 数 为 x , 则 x 5 0 = 6
3、1 0 . 所 以 x = 30 2 分 列 联 表 补 充 如 下 : 喜 好 体 育 运 动 不 喜 好 体 育 运 动 合 计 男 生 2 0 5 25 女 生 1 0 15 25 合 计 3 0 20 50 7 分 ( 2 ) 因 为 k 2 = 5 0 ( 2 0 1 5 - 1 0 5 ) 2 3 0 20 25 2 5 = 25 3 = 8 . 3 33 6 . 6 3 5 1 0 分 所 以 可 以 在 犯 错 误 率 不 超 过 0 01 的 前 提 下 认 为 喜 好 体 育 运 动 与 性 别 有 关 . 1 2 分 19 . ( 1 ) 证 明 : 因 为 三 棱 柱
4、中 A A 1 平 面 A B C , 所 以 B B 1 平 面 A B C , 又 B B 1 平 面 B B 1 C 1 C , 所 以 平 面 B B 1 C 1 C 平 面 A B C 2 分 因 为 A B C 为 正 三 角 形 , D 为 B C 的 中 点 , 所 以 A D B C , 又 平 面 B B 1 C 1 C 平 面 A B C = B C ,高 三 数 学 ( 理 科 ) 一 诊 答 案 第 2 页 ( 共 4 页 ) 所 以 A D 平 面 B B 1 C 1 C , 又 A D 平 面 A D B 1 所 以 平 面 A B 1 D 平 面 B B 1 C
5、 1 C . 5 分 ( 2 ) 解 : 以 D 为 坐 标 原 点 , D C 为 x 轴 , D A 为 y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 D ( 0 , 0 , 0 ) , A 1 ( 0 , 3 2 , 1 ) , C ( 1 2 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 3 2 , 0 ) , B 1 ( - 1 2 , 0 , 1 ) 7 分 所 以 A D = ( 0 , 3 2 , 0 ) , B 1 D = ( 1 2 , 0 , - 1 ) 设 平 面 A D B 1 的 法 向 量 n 1 = ( x , y , z ) 则 n 1 A D = 0 n 2
6、 B 1 D = 0 ( x , y , z ) ( 0 , 3 2 , 0 ) = 0 ( x , y , z ) ( 1 2 , 0 , - 1 ) = 0 即 3 2 y = 0 1 2 x - z = 0 令 z = 1 , 则 x = 2 得 n 1 = ( 2 , 0 , 1 ) 同 理 可 求 得 平 面 A B 1 B 的 法 向 量 n 2 = ( 3 , - 1 , 0 ) 1 1 分 设 二 面 角 B - A B 1 - D 的 大 小 为 , 所 以 c o s = n 1 n 2 | n 1 | | n 2 | = 15 5 . 1 2 分 20 . 解 : ( 1
7、 ) 由 题 意 可 知 2 a = | F 1 B | + | F 2 B | = 1 0 . 所 以 a = 5 , 又 c = 4 , 所 以 b = a 2 - c 2 = 3 , 所 以 椭 圆 方 程 为 : x 2 25 + y 2 9 = 1 . 5 分 ( 2 ) 由 点 B ( 4 , y B ) 在 椭 圆 上 , 得 | F 2 B | = | y B | = 9 5 . 7 分 由 | F 2 A | , | F 2 B | , | F 2 C | 成 等 差 数 列 , 得 ( x 1 - 4 ) 2 + y 1 2 + ( x 2 - 4 ) 2 + y 2 2
8、= 2 9 5 点 A ( x 1 , y 1 ) 在 椭 圆 x 2 1 25 + y 2 1 9 = 1 上 , 得 y 2 1 = 9 2 5 ( 25 - x 2 1 ) 所 以 ( x 1 - 4 ) 2 + y 2 1 = x 2 1 - 8 x 1 + 1 6 + 9 2 5 ( 2 5 - x 2 1 )高 三 数 学 ( 理 科 ) 一 诊 答 案 第 3 页 ( 共 4 页 ) = ( 5 - 4 5 x 1 ) 2 = 1 5 ( 2 5 - 4 x 1 ) 同 理 可 得 ( x 2 - 4 ) 2 + y 2 2 = 1 5 ( 2 5 - 4 x 2 ) 1 0 分
9、 将 代 入 式 , 得 : 1 5 ( 25 - 4 x 1 ) + 1 5 ( 2 5 - 4 x 2 ) = 18 5 所 以 x 1 + x 2 = 8 设 A C 中 点 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , 则 横 坐 标 : x 0 = x 1 + x 2 2 = 4 . 1 2 分 21 解 : ( 1 ) 当 a = 1 2 时 , f ( x ) = e x - 1 2 x - 1 - x 2 2( x R ) f ( x ) = e x - x - 1 2 , 2 分 令 g ( x ) = f ( x ) , 则 g ( x ) = e x - 1 , 当 x (
10、 - , 0 ) 时 , g ( x ) 0 , f ( x ) 单 调 递 增 . 4 分 所 以 f ( x ) f ( 0 ) = 1 2 0 所 以 f ( x ) 在 ( - , + ) 单 调 递 增 . 6 分 ( 2 ) 证 明 : F ( x ) = e x + e - x , 当 x 1 x 2 时 , F ( x 1 ) F ( x 2 ) = e x 1 + x 2 + e - ( x 1 + x 2 ) + e x 1 - x 2 + e - x 1 + x 2 e x 1 + x 2 + e - ( x 1 + x 2 ) + 2 e x 1 + x 2 + 2 8
11、 分 所 以 F ( 1 ) F ( n ) e n + 1 + 2 F 2 F ( n - 1 ) e n + 1 + 2 F ( n ) F ( 1 ) e n + 1 + 2 1 0 分 由 此 得 F ( 1 ) F ( 2 ) F ( n ) 2 = F ( 1 ) F ( n ) F ( 2 ) F ( n - 1 ) F ( n ) F ( 1 ) ( e n + 1 + 2 ) n 故 F ( 1 ) F ( 2 ) F ( n ) ( e n + 1 + 2 ) n 2 ( n N ) 1 2 分 22 解 : ( 1 ) 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 :x 2
12、 4 + y 2 16 = 1 2 分 当 c o s 0 时 , l 的 直 角 坐 标 方 程 为 :高 三 数 学 ( 理 科 ) 一 诊 答 案 第 4 页 ( 共 4 页 )y = t a n x + 2 - t a n , 当 c o s = 0 时 , l 的 直 角 坐 标 方 程 为 :x = 1 5 分 ( 2 ) 将 l 的 参 数 方 程 代 入 C 的 直 角 坐 标 方 程 , 得( 1 + 3 c o s 2 ) t 2 + 4 ( 2 c o s + s i n ) t - 8 = 0 因 为 曲 线 C 截 直 线 l 所 得 线 段 中 点 ( 1 , 2
13、) 在 C 内 , 所 以 有 两 解 t 1 , t 2 , 则 t 1 + t 2 = 0 8 分 又 t 1 + t 2 = - 4 ( 2 c o s + s i n ) 1 + 3 c o s 2 故 2 c o s + s i n = 0 于 是 直 线 l 的 斜 率 k = t a n = - 2 . 1 0 分 23 解 : ( 1 ) 当 a = 1 时 , f ( x ) = 2 x + 4 , x - 1 , 2 , - 1 2 , 可 得 f ( x ) 0 的 解 集 为 x | - 2 x 3 5 分 ( 2 ) f ( x ) 1 等 价 于 | x + a |
14、 + | x - 2 | 4 而 | x + a | + | x - 2 | | a + 2 | 且 当 x = 2 时 , 等 号 成 立 , 故 f ( x ) 1 等 价 于| a + 2 | 4 所 以 a - 6 或 a 2 所 以 a 的 取 值 范 围 是 ( - , - 6 2 , + ) . 1 0 分高 三 数 学 ( 文 科 ) 一 诊 答 案 第 1 页 ( 共 3 页 ) 南 充 市 高 2 0 1 9 届 第 一 次 高 考 适 应 性 考 试 数 学 试 题 ( 文 科 ) 参 考 答 案 及 评 分 意 见 一 、 选 择 题 : 1 . C 2 . A 3 .
15、 C 4 . B 5 . D 6 . B 7 . C 8 . D 9 . A 10 . D 11 . B 12 . A 二 、 填 空 题 : 1 3 12 14 2 15 1 1 16 9 三 、 解 答 题 : 17 解 : ( 1 ) 因 为 a 1 = 1 , a n + 1 = 3 a n 所 以 数 列 a n 是 首 项 为 1 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 所 以 a n = 3 n - 1 . 6 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 : b 1 = a 1 + a 2 + a 3 = 1 + 3 + 9 = 13 , b 3 = 9 , 8 分 则 b 3 -
16、b 1 = 2 d = - 4 , d = - 2 , 1 0 分 所 以 S n = 1 3 n + n ( n - 1 ) 2 ( - 2 ) = - n 2 + 1 4 n . 1 2 分 18 解 : ( 1 ) 设 喜 好 体 育 运 动 人 数 为 x , 则 x 5 0 = 6 1 0 . 所 以 x = 30 2 分 列 联 表 补 充 如 下 : 喜 好 体 育 运 动 不 喜 好 体 育 运 动 合 计 男 生 2 0 5 25 女 生 1 0 15 25 合 计 3 0 20 50 7 分 ( 2 ) 因 为 k 2 = 5 0 ( 2 0 1 5 - 1 0 5 ) 2
17、 3 0 20 25 2 5 = 25 3 = 8 . 3 33 6 . 6 3 5 1 0 分 所 以 可 以 在 犯 错 误 率 不 超 过 0 01 的 前 提 下 认 为 喜 好 体 育 运 动 与 性 别 有 关 . 1 2 分 19 . ( 1 ) 证 明 : 因 为 三 棱 柱 中 A A 1 平 面 A B C , 所 以 B B 1 平 面 A B C , 又 B B 1 平 面 B B 1 C 1 C , 所 以 平 面 B B 1 C 1 C 平 面 A B C 2 分 因 为 A B C 为 正 三 角 形 , D 为 B C 的 中 点 , 所 以 A D B C ,
18、 又 平 面 B B 1 C 1 C 平 面 A B C = B C , 所 以 A D 平 面 B B 1 C 1 C , 又 A D 平 面 A D B 1高 三 数 学 ( 文 科 ) 一 诊 答 案 第 2 页 ( 共 3 页 ) 所 以 平 面 A B 1 D 平 面 B B 1 C 1 C . 6 分 ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 可 得 A D B 1 为 R t , 又 A D = 3 2 , B 1 D = 5 2所 以 S A D B 1 = 1 2 A D B 1 D = 15 8 又 S A D B = 1 2 S A B C = 3 8 9 分 设 点 B 到
19、平 面 A D B 1 的 距 离 为 d , 则 V B - A D B 1 = V B 1 - A D B , 1 3 S A D B d = 1 3 S A D B B B 1 , 所 以 d = S A D B B B 1 S A D B 1 = 3 1 5 = 5 5 . 1 2 分 20 . 解 : ( 1 ) 因 为 l x 轴 , 所 以 F 2 坐 标 为 ( 2 , 0 ) , 所 以 2 a 2 + 1 b 2 = 1 , c 2 = a 2 - b 2 = 2 , 解 得 a 2 = 4 , b 2 = 2 , 所 以 椭 圆 方 程 为 x 2 4 + y 2 2 =
20、 1 . 5 分 ( 2 ) 直 线 B F 2 的 方 程 为 y = x - 2 7 分 联 立 y = x - 2 x 2 4 + y 2 2 = 1 得 到 N 的 纵 坐 标 为 2 3 . 1 0 分 又 | F 1 F 2 | = 2 2 所 以 S F 1 B N = S B F 1 F 2 + S N F 1 F 2 = 1 2 ( 2 + 2 3 ) 2 2 = 8 3 . 1 2 分 21 解 : ( 1 ) f ( x ) = e x - a x - 1 2 , 所 以 f ( 0 ) = 1 2 , f ( 0 ) = 0 , 因 此 曲 线 y = f ( x )
21、在 ( 0 , 0 ) 处 的 切 线 方 程 为 : x - 2 y = 0 5 分 ( 2 ) f ( x ) = e x - x - 1 2 7 分 令 g ( x ) = f ( x ) , 则 g ( x ) = e x - 1 , 9 分高 三 数 学 ( 文 科 ) 一 诊 答 案 第 3 页 ( 共 3 页 ) 当 x ( - , 0 ) 时 , g ( x ) 0 , f ( x ) 单 调 递 增 . 所 以 f ( x ) f ( 0 ) = 1 2 0 1 1 分 所 以 f ( x ) 在 ( - , + ) 单 调 递 增 . 1 2 分 22 解 : ( 1 )
22、曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 :x 2 4 + y 2 16 = 1 2 分 当 c o s 0 时 , l 的 直 角 坐 标 方 程 为 :y = t a n x + 2 - t a n , 当 c o s = 0 时 , l 的 直 角 坐 标 方 程 为 :x = 1 5 分 ( 2 ) 将 l 的 参 数 方 程 代 入 C 的 直 角 坐 标 方 程 , 得( 1 + 3 c o s 2 ) t 2 + 4 ( 2 c o s + s i n ) t - 8 = 0 因 为 曲 线 C 截 直 线 l 所 得 线 段 中 点 ( 1 , 2 ) 在 C 内 , 所 以
23、 有 两 解 t 1 , t 2 , 则 t 1 + t 2 = 0 8 分 又 t 1 + t 2 = - 4 ( 2 c o s + s i n ) 1 + 3 c o s 2 故 2 c o s + s i n = 0 于 是 直 线 l 的 斜 率 k = t a n = - 2 . 1 0 分 23 解 : ( 1 ) 当 a = 1 时 , f ( x ) = 2 x + 4 , x - 1 , 2 , - 1 2 , 可 得 f ( x ) 0 的 解 集 为 x | - 2 x 3 5 分 ( 2 ) f ( x ) 1 等 价 于 | x + a | + | x - 2 | 4 而 | x + a | + | x - 2 | | a + 2 | 且 当 x = 2 时 , 等 号 成 立 , 故 f ( x ) 1 等 价 于| a + 2 | 4 所 以 a - 6 或 a 2 所 以 a 的 取 值 范 围 是 ( - , - 6 2 , + ) . 1 0 分
