1、1第 2 讲 圆周运动知识排查匀速圆周运动1.定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。2.特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。3.条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。角速度、线速度、向心加速度匀速圆周运动的向心力1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。2.大小： F ma m m 2r m r mv 4 2mf2r。v2r 4 2T23.方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。离心现
2、象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。生活中的圆周运动1.竖直面内的圆周运动(1)汽车过弧形桥特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力。(2)水流星、绳球模型、内轨道2(3)轻杆模型、管轨道2.火车转弯特点：重力与支持力的合力提供向心力。(火车按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)小题速练1.思考判断(1)做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的( )(2)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比( )(3)随圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力的作用( )(4)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆
3、周切线方向做匀速直线运动( )(5)摩托车转弯时，如果超速会发生滑动，这是因为摩托车受到离心力作用( )(6)火车转弯速率小于规定的安全速率，内轨会受到压力( )(7)在绝对光滑的水平面上汽车可以转弯( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)2.人教版必修 2P22T3拓展如图 1 所示，有一皮带传动装置， A、 B、 C 三点到各自转轴的距离分别为 RA、 RB、 RC，已知 RB RC ，若在传动过程中，皮带不打滑。则( )RA2图 1A.A 点与 C 点的角速度大小相等B.B 点与 C 点的线速度大小相等C.B 点与 C 点的角速度大小之比为 21D.B 点与 C
4、 点的向心加速度大小之比为 14解析 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然 vA vC， A B，根据 v R ，可得 ARA CRC，又 RC ，所以 A ，选项 A 错误； vA2 vB，所以 vC2 vB，B 错误；RA2 C2根据 A B， A ，可得 B ，即 B 点与 C 点的角速度大小之比为 12，选项 C2 C2C 错误；根据 B 及关系式 a 2R，可得 aB ，即 B 点与 C 点的向心加速度大小之 C2 aC4比为 14，选项 D 正确。答案 D3.人教版必修 2P25T2拓展如图 2 所示，两
5、个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面3上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为 30和 60，有 A、 B 两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图 2A.A、 B 球受到的支持力之比为 33B.A、 B 球的向心力之比为 13C.A、 B 球运动的角速度之比为 31D.A、 B 球运动的线速度之比为 31解析 设小球受到的支持力为 FN，向心力为 F，则有 FNsin mg， FNA FNB 1，选3项 A 错误； F ， FA FB31，选项 B 错误；小球运动轨道高度相同，则半径mgtan R htan ， RA RB13，由 F m 2R 得 A B31，选
6、项 C 正确；由 v R 得vA vB11，选项 D 错误。答案 C4匀速圆周运动及描述的物理量1.对公式 v r 的理解当 r 一定时， v 与 成正比；当 一定时， v 与 r 成正比；当 v 一定时， 与 r 成反比。2.对 a 2r v 的理解v2r在 v 一定时， a 与 r 成反比；在 一定时， a 与 r 成正比。3.两种运动装置的特点(1)同轴传动：如图 3 甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同， A B，由v r 知 v 与 r 成正比。图 3(2)同带传动：如图 4 甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即 vA vB。图 4【典例 1】
7、(20184 月浙江选考) A、 B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图 5)，在相同时间内，它们通过的路程之比是 43，运动方向改变的角度之比是 32，则它们( )图 5A.线速度大小之比为 43B.角速度大小之比为 34C.圆周运动的半径之比为 21D.向心加速度大小之比为 125解析 时间相同，路程之比即线速度大小之比，故 A 项正确；运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比也为 32，B 项错误；路程比除以角度比得半径比为 89，C 项错误；由向心加速度 a 知线速度平方比除以半径比即v2r向心加速度大小之比为 21，D 项错误。答案 A1.自行车修
8、理过程中，经常要将自行车倒置，摇动脚踏板检查是否修好，如图 6 所示，大齿轮边缘上的点 a、小齿轮边缘上的点 b 和后轮边缘上的点 c 都可视为在做匀速圆周运动。则线速度最大的点是( )图 6A.大齿轮边缘上的点 aB.小齿轮边缘上的点 bC.后轮边缘上的点 cD.a、 b、 c 三点线速度大小相同解析 a 点与 b 点线速度大小相等，即 va vb， b 与 c 点角速度相等，即 b c，又v r ， rb rc，所以 vc vb va，即后轮边缘上的 C 点线速度最大，故选项 C 正确。答案 C2.如图 7 所示为 A、 B 两物体做匀速圆周运动时向心加速度 a 随半径 r 变化的曲线，由
9、图线可知( )图 7A.A 物体的线速度大小不变B.A 物体的角速度不变C.B 物体的线速度大小不变D.B 物体的角速度与半径成正比解析 对于物体 A，由图线知 aA ，与 a 相比较，则推知 vA大小不变；对于物体 B，1r v2r6由图线知， aB r，与公式 a 2r 相比较可知 B不变，故选项 A 正确。答案 A3.如图 8 所示， B 和 C 是一组塔轮，即 B 和 C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为 RB RC32， A 轮的半径大小与 C 轮相同，它与 B 轮紧靠在一起，当 A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用， B 轮也随之无相对滑动地转动起来。 a、 b
10、、 c 分别为三轮边缘的三个点，则 a、 b、 c 三点在转动过程中的( )图 8A.线速度大小之比为 322B.角速度之比为 332C.转速之比为 232D.向心加速度大小之比为 964解析 A、 B 轮摩擦传动无滑动，故 va vb， aRA bRB， a b32； B、 C 同轴，故 b c， ， vb vc32，因此 va vb vc332， a b c322，vbRB vcRC故选项 A、B 错误；转速之比等于角速度之比，故选项 C 错误；由 a v 得aa ab ac964，选项 D 正确。答案 D圆周运动的动力学问题1.向心力的来源(1)向心力的方向沿半径指向圆心。(2)向心力来
11、源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。3.区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的合外力不同(1)匀速圆周运动中，物体所受合外力指向圆心，合外力提供向心力。(2)非匀速圆周运动中，物体所受合外力不指向圆心。【典例 1】 表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆台形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆台筒固定不动。现将圆台筒简化为如图 9 所示，若演员骑着摩托车，先后在 A、 B 两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(
12、 )7图 9A.A 处的线速度大于 B 处的线速度B.A 处的角速度大于 B 处的角速度C.A 处对筒的压力大于 B 处对筒的压力D.A 处的向心力大于 B 处的向心力解析 物体受到的重力和筒壁的支持力充当向心力，向心力沿水平方向，则重力和支持力的合力相等，即向心力相等，根据牛顿第三定律可得 A 处对筒的压力等于 B 处对筒的压力，选项 C、D 错误；根据公式 F 可得半径越大，线速度越大，故 A 处的线速度大于 B 处mv2r的线速度，选项 A 正确；根据公式 F m 2r 可得半径越大，角速度越小，故 A 处的角速度小于 B 处的角速度，选项 B 错误。答案 A“一、二、三、四”求解圆周运
13、动问题【典例 2】 如图 10 甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中 P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴 OO转动，设绳长 l10 m，质点的质量 m60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离 d4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角 37，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，g10 m/s 2，sin 370.6，cos 370.8，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：8图
14、10(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。解析 (1)如图所示，对质点进行受力分析：Fcos 37 mg0F 750 N。mgcos 37(2)根据牛顿第二定律有：mgtan 37 m 2RR d lsin 37联立解得 rad/s。gtan 37d lsin 37 32答案 (1)750 N (2) rad/s321.(20164 月浙江选考)如图 11 为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他( )图 11A.所受的合力为零，做匀速运动B.所受的合力恒定，做匀加速运动C.所受的合力恒定，做变加速运动D.所受的合力变化，做变加速运动解
15、析 匀速圆周运动过程中，线速度大小不变，方向改变；向心加速度大小不变，方向始终指向圆心；向心力大小不变，方向始终指向圆心。故 A、B、C 错误，D 正确。答案 D2.如图 12 所示，质量相等的 a、 b 两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是 23，圆盘绕9圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止， a、 b 两物体做圆周运动的向心力之比是( )图 12A.11 B.32 C.23 D.94解析 a、 b 随圆盘转动，角速度相同，由 F m 2r 可知，两物体的向心力与运动半径成正比，C 正确。答案 C3.(201510 月浙江选考)质量为 30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的
16、距离是 2.5 m。小孩的父亲将秋千板从最低点拉起 1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( )A.0 B.200 N C.600 N D.1 000 N解析 小孩从 1.25 m 高度向下摆动过程中，由机械能守恒定律知mgh mv20，12在最低点有 FN mg ，mv2R解得 FN600 N，由牛顿第三定律得小孩对秋千板的压力FN FN600 N，选项 C 正确。答案 C4.如图 13 所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力 F、悬点到轨迹圆心高度 h、向心加速度 a、线
17、速度 v 与角速度平方 2的关系图象正确的是( )图 1310解析 设细绳长度为 l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为 ，则有细绳拉力为 F，有 Fsin m 2lsin ，得 F m 2l，选项 A 正确； mgtan m 2lsin ，得 h lcos ，选项 B 错误；小球的向心加速度 a 2lsin ，选项 C 错误；小球g 2的线速度 v l sin ，选项 D 错误。答案 A11生活中的圆周运动角度一 水平面内匀速圆周运动实例1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等。2.问题特点：(1)运动轨迹是圆且在水平面内。(2)向心力的方向水平，竖直方向合力为
18、零。3.解决方法：(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源。(2)确定圆周运动的圆心和半径。(3)应用相关规律列方程求解。【典例】 (201811 月浙江选考)一质量为 2.0103 kg 的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为 1.4104 N，当汽车经过半径为 80 m 的弯道时，下列判断正确的是( )图 14A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为 20 m/s 时所需的向心力为 1.4104 NC.汽车转弯的速度为 20 m/s 时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过 7.0 m/s2解析 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩
19、擦力，但向心力是根据力的效果命名的，不是物体实际受到的力，选项 A 错误；当汽车转弯速度为 20 m/s 时，根据 Fn m ，得所需v2R的向心力 Fn110 4 N，没有超过最大静摩擦力，所以车也不会侧滑，所以选项 B、C 错误；汽车转弯达到最大静摩擦力时，向心加速度最大为 an m/s27.0 Ffmm 1.41042.0103m/s2，选项 D 正确。答案 D1.质量为 m 的飞机以恒定速率 v 在空中水平盘旋，如图 15 所示，其做匀速圆周运动的半径为 R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小为( )12图 15A. B.mgmv2RC.m D.mg2 v4R2 g2 v4
20、R2解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力 Fn m 。飞机受力情况示意图如图所示，根v2R据勾股定理得F m 。g2 v4R2答案 C2.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为 ，如图 16 所示，弯道处的圆弧半径为 R，若质量为 m 的火车转弯时速度等于 ，则( )gRtan 图 16A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压C.这时铁轨对火车的支持力等于mgcos D.这时铁轨对火车的支持力大于mgcos 解析 由牛顿第二定律 F 合 m ，解得 F 合 mgtan ，此时火
21、车只受重力和铁v2R路轨道的支持力作用，如图所示， FNcos mg，则 FN ，内、外轨道mgcos 对火车均无侧压力，故选项 C 正确，A、B、D 错误。答案 C3.如图 17 所示， “旋转秋千”中的两个座椅 A、 B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正13确的是( )图 17A.A 的速度比 B 的大B.A 与 B 的向心加速度大小相等C.悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小解析 A、 B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即 A B，但 rA ，则杆在最高点
22、对小球的弹v2R gR力竖直向下， mg F m ，随 v 增大， F 增大，故 C、D 均错误。v2R答案 A3.男子体操运动员做“双臂大回环” ，用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图 21 所示，若运动员的质量为 50 kg，此过程中运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力， g10 m/s 2)( )图 21A.500 N B.2 000 NC.2 500 N D.3 000 N解析 设人的长度为 l，人的重心在人体的中间，最高点的最小速度为零，根据动能定理得 mgl mv2，解得最低点人的速度为 v ，根据牛顿第二定律得 F mg m ，解得12 2gl
23、v212lF5 mg2 500 N，故选 C。答案 C圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题的分析与求解(不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题)，一般都是先假设出某量达到最大或最小的临界情况，进而列方程求解。【典例】 如图 22 所示，质量为 m 的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为 m 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的 倍( 0.2)，当转盘以角速度 4 rad/s 匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？( g 取 10 m/s2)。17图 22解析 由于转盘以角速度 4 r
24、ad/s 匀速转动，因此木块做匀速圆周运动所需的向心力为 F mr 2。当木块做匀速圆周运动的半径取最小值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相反，则有 mg mg mrmin 2，解得 rmin0.5 m；当木块做匀速圆周运动的半径取最大值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相同，则有 mg mg mrmax 2，解得 rmax0.75 m。因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是 0.5 m r0.75 m。答案 0.5 m r0.75 m1.如图 23 所示，甲、乙、丙三个物体放在匀速转动的水平粗糙圆台上，甲的质量为 2m，乙、丙的质量均为 m，甲、乙离轴为 R，丙离轴为 2R，则当
25、圆台旋转时(设甲、乙、丙始终与圆台保持相对静止)( )图 23A.甲物体的线速度比丙物体的线速度大B.乙物体的角速度比丙物体的角速度小C.甲物体的向心加速度比乙物体的向心加速度大D.乙物体受到的向心力比丙物体受到的向心力小解析 甲、乙、丙转动的角速度大小相等，根据 v r ，且甲的半径小于丙的半径可知，甲物体的线速度比丙物体的线速度小，故 A、B 错误；根据向心加速度 a r 2，且甲、乙半径相等可知，甲物体的向心加速度和乙物体的向心加速度相等，故 C 错误；根据F mr 2知，甲、乙、丙的质量之比为 211，转动的半径之比为 112，则向心力大小之比为 212，所以乙物体受到的向心力比丙物体
26、受到的向心力小，故 D 正确。答案 D2.如图 24 所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法正确的是( )18图 24A.小球通过最高点时的最小速度 vmin g（ R r）B.小球通过最高点时的最小速度 vmin gRC.小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析 小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故 A、B 均错误；小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 FN与小球重力在背离圆心方向的分力 Fmg的合力提
27、供向心力，即 FN Fmg ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C 正确；小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D 错误。答案 C活页作业(时间：30 分钟)A 组 基础过关1.(201610 月浙江选考)在 G20 峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图1 所示姿式原地旋转，此时手臂上 A、 B 两点角速度大小分别为 A、 B，线速度大小分别为 vA、 vB，则( )图 1A. A B B. A BC.vA vB D.vA vB解析 由于 A、 B 两处在人自转的过程中周期一样，所以根据 可知， A、 B 两处的
28、角2T速度一样， A B，所以 A、B 选项错误；根据 v r 可知 A 处转动半径较大，所以 A处的线速度较大，即 vA vB选项 D 正确。答案 D192.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图 2 所示)，则下列说法正确的是( )图 2A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小解析 由向心力的表达式 Fn m 2r 可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增
29、大，绳对手的拉力增大，选项 A 错误，B 正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力增大，选项 C、D 错误。答案 B3.雨天野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重” 。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来。如图 3 所示，图 a、 b、 c、 d 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )图 3A.泥巴在图中 a、 c 位置的向心加速度大于 b、 d 位置的向心加速度B.泥巴在图中的 b、 d 位置时最容易被甩下来C.泥巴在图中的 c 位置时最容易被甩下来D.泥巴在图中的 a 位置时最容易被
30、甩下来解析 当后轮匀速转动时，由 a R 2知 a、 b、 c、 d 四个位置的向心加速度大小相等，A错误；在角速度 相同的情况下，泥巴在 a 点有 Fa mg m 2R，在 b、 d 两点有Fb Fd m 2R，在 c 点有 Fc mg m 2R。所以泥巴与轮胎在 c 位置的相互作用力最大，最容易被甩下来，故 B、D 错误，C 正确。答案 C4.如图 4 所示，一小物块以大小为 a4 m/s2 的向心加速度做匀速圆周运动，半径 R1 m，则下列说法正确的是( )20图 4A.小物块运动的角速度为 2 rad/sB.小物块做圆周运动的周期为 2 sC.小物块在 t s 内通过的位移大小为 m
31、4 20D.小物块在 s 内通过的路程为零解析 因为 a 2R，所以小物块运动的角速度 2 rad/s，选项 A 正确；周期 TaR s，小物块在 s 内转过 ，通过的位移为 m，在 s 内转过一周，通过的路2 4 2 2程为 2 m，选项 B、C、D 错误。答案 A5.如图 5 所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )图 5A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心解析 木块做的是匀速圆周运动，加速度大小不变，但方向时刻指向圆心，加速度时
32、刻改变，故选项 A、B、C 错误，D 正确。答案 D6.(2018浙江杭州期末)健步行走是现在流行的一种健身方式。如图 6 所示，在广场的两个圆心圆圆形走道上，有一对父女沿同一方向匀速健步行走，女儿在图中 A 位置，父亲在图中 B 位置，若女儿、父亲所在位置与圆心始终在一条线上，则下列说法正确的是( )21图 6A.女儿的线速度比较大B.女儿的角速度比较大C.父亲的加速度比较大D.父亲的转速比较大解析 根据女儿、父亲所在位置与圆心始终在一条线上可知，他们的角速度相同，由公式v r 可知，女儿的线速度较小，由公式 an 2r 可知，父亲的加速度比较大，由公式n f 可知，女儿、父亲的转速相等，综
33、合以上分析可知，C 正确。2答案 C7.(2018浙江宁波选考适应性考试)如图 7 两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球 A和 B，细线上端固定在同一点，若两个小球绕竖直轴做匀速圆周运动时恰好在同一高度的水平面内，则下列说法中正确的是( )图 7A.线速度 vA vB B.角速度 A BC.加速度 aA aB D.周期 TA TB解析 设连接 A 球的细线长为 LA，细线与竖直方向的夹角为 ，对小球 A 受力分析且由牛顿第二定律可得： mAgtan mA ，解得 vA ，同理，设连接 B 球gLAtan sin 的细线长为 LB，细线与竖直方向的夹角为 ，可得 vB ，由于gLBtan si
34、n r)的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道 CD 相通，宇航员让一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过粗糙的 CD 段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，那么下列说法正确的是( )图 9A.小球在 CD 间由于摩擦力而做减速运动B.小球经过甲轨道最高点时比经过乙轨道最高点时速度大C.如果减小小球的初速度，小球有可能不能到达乙轨道的最高点D.小球经过甲轨道最高点时对轨道的压力大于经过乙轨道最高点时对轨道的压力解析 小球处于完全失重状态，在 CD 段水平粗糙部分对水平轨道没有压力，也就不受摩擦力，A 错误；在甲、乙两个圆形轨道运动的过程中，轨道对它的弹力提供圆周运动
35、的向心力，但是弹力不做功，因此速度大小不会改变，经过甲轨道最高点时和经过乙轨道最高点时速度一样大，B 错误；因为只有弹力提供向心力，所以不管是否减小初速度，小球都可以通过任何一个轨道的最高点，只是在同一轨道中速度大弹力大，速度小弹力小，C 错误；小球经过甲、乙轨道最高点时，轨道对它的弹力提供向心力，即 FN 甲 ， FN 乙 ，mv2r mv2R速度相同，但是甲的半径小，所以对小球的弹力大，根据牛顿第三定律知 D 正确。23答案 D10.如图 10 所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )图
36、10A.绳的张力可能为零B.桶对物块的弹力不可能为零C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大解析 当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，A、D 项错误，C 项正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，B 项错误。答案 C11.如图 11 所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为 m 的小球A、 B 以不同速率进入管内， A 通过最高点 C 时，对管壁上部的压力为 3mg， B 通过最高点 C时，对管壁下部的压力为 0.75mg。求 A、 B 两球落
37、地点间的距离。图 11解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动， A、 B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。对 A 球 3mg mg m解得 vA 4gR对 B 球 mg0.75 mg m解得 vB14gR24由平抛运动规律可得小球做平抛运动时间 t4Rg落地时它们的水平位移为sA vAt vA 4 R4RgsB vBt vB R4Rg所以 sA sB3 R即 a、 b 两球落地点间的距离为 3R。答案 3 R12.如图 12 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物块，当物块到转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚
38、好被拉直(绳中张力为零)。已知物块与转盘间的最大静摩擦力是其重力的k 倍，当绳中张力达到 8kmg 时，绳子将被拉断。求：图 12(1)转盘的角速度为 1 时，绳中的张力 T1；kg2r(2)转盘的角速度为 2 时，绳中的张力 T2；3kg2r(3)要将绳拉断，转盘的最小转速 min。解析 (1)设角速度为 0时，绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有kmg m r20解得 0kgr当转盘的角速度为 1 时，因为 1 0，所以物块所受最大静摩擦力不足以提供3kg2r物块随转盘做圆周运动所需的向心力，则 kmg T2 m r2解得 T2 kmg。12(3)根据题述，要将绳拉断，绳中的张力至少为 8kmg，此时物块与转盘间的摩擦力等于最大静摩擦力 kmg，则258kmg kmg m r2min解得 min3 。kgr答案 (1)0 (2) kmg (3)312 kgr
