1、1第 2 讲 函数与方程考情考向分析 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现热点一 函数的零点1零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，故有两个不同的解 u1， u2，又 u1u2 f( )f( )4，2 2所以不等实根的个数为 3.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定(2)零点个数的确定(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型
2、不同的方程多以数形结合法求解跟踪演练 1 (1)定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x)Error!且 f(x1) f(x1)，若 g(x)3log 2x，则函数 F(x) f(x) g(x)在(0，)内的零点有( )A3 个 B2 个 C1 个 D0 个答案 B解析 由 f(x1) f(x1)得 f(x)的周期为 2，作函数 f(x)和 g(x)的图象，3图中， g(3)3log 231 f(3)，g(5)3log 250)有两个不同1x的交点即可，由e x a ，得 ex2 ax10， a24e0，解得 a2 或1x ea0， a1 时，有 2 个交点，符合题意综上， a 的取值范围
3、为1，)故选 C.思维升华 (1)方程 f(x) g(x)根的个数即为函数 y f(x)和 y g(x)图象交点的个数(2)关于 x 的方程 f(x) m0 有解， m 的范围就是函数 y f(x)的值域跟踪演练 2 (1)已知函数 f(x)Error!( aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是( )A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2) D(，1)答案 A解析 函数 f(x)Error!( aR)在 R 上有两个零点，且 x 是函数 f(x)的一个零点，a3方程 2x a0 在(，0上有一个解，再根据当 x(，0时，00 时， f(x) ，则 f( x) (x
4、0)，xex 1 xex故 f(1) 为 f(x)在(0，)上的最大值1e设 t f(x)， t2( m1) t1 m0 有两个根 t1， t2，由图可知，对应两个 x 值的 t 值只有一个，故可设 t1对应一个 x 值， t2对应 3 个 x 值情况为Error! 或Error!当属于第一种情况时，将 0 代入方程得 m1，此时二次方程 t2( m1) t1 m0 的根是确定的，一个为 0，一个为 2 ，不符合第一种1e情况的要求；当属于第二种情况时，Error!即 0， xR)若 f(x)在区间 x2 12 12(，2)内没有零点，则 的取值范围是_答案 (0，18 14， 58解析 f(
5、x) sin x 1 cos x2 12 12 (sin xcos x) sin .12 22 ( x 4)因为函数 f(x)在区间(，2)内没有零点，所以 2，所以 ，所以 01 时，0g ， g(4)32， g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有 5 个，(52) (52)所以 f(x)2sin x x1 的零点个数为 5.2已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x)2 x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体8现了数形结合思想答案 D解析
6、 g(x) f(x)2 xError!要使函数 g(x)恰有三个不同的零点，只需 g(x)0 恰有三个不同的实数根，所以Error! 或Error!所以 g(x)0 的三个不同的实数根为 x2( xa)，x1( x a)， x2( x a)再借助数轴，可得1 a0， f 132130， f 12130C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0答案 C解析 函数 f(x)的定义域为 x|x2，又 e x0，且 xf(x0)f(x2)，即 f(x1)0， f(x2)0 时， f(x)2 x2 x4，则 f(x)的零点个数是( )A2 B3 C4 D5答案 B解析 由于函数 f(x)是定义在
7、R 上的奇函数，故 f(0)0.由于 f f(2)0 时有 1 个零点，根据奇函数的对称性可知，当 x0 时， x0)，12所以 f(x)关于 y 轴对称的函数为 h(x) f( x) x22 x (x0)，12由题意得 x22 x x2log 2(x a)在 x0 时有解，作出函数的图象如图所示，12当 a0 时，函数 y2 x 与 ylog 2(x a)的图象在(0，)上必有交点，符合题意，12若 a0，若两函数在(0，)上有交点，则 log2a0)，最多有 1 个解，x即有 x ，解得 00， y 单调递增，(12， )则 ymin1ln 1ln 20，12则当 x(0，)时，恒有 2x
8、ln x0，令 g( x)0，得 x1 或 xe，且 x(0,1)时， g( x)0， g(x)单调递增；(1， e)x 时， g( x)0 时，由对称性知，x2 x32,0 x2x3 21；(x2 x32 )当 x0 时，由 x22 x1，得 x1 ，2所以 1 x10，即 0 x1 1，2 2所以 0 x1x2x3 1，即 1 x1x2x30.2 214已知函数 f(x)Error!(e 为自然对数的底数)，则 f(e)_，函数 y f(f(x)1 的零点有_个(用数字作答)答案 1 3解析 f(e)ln e1.函数 y f(f(x)1 的零点个数为方程 f(f(x)1 的根的个数，则由 ln x1( x1)，得 xe，于是 f(x)e，则由 ln xe( x1)，得 xe e；由 ef(|x|1)e( x1)，得 f(|x|1)1，所以 ln(|x|1)1，解得 xe1(舍去)或 x1e；由 ef(|x|1) 1( x1)，得f(|x|1)0，所以 ln(|x|1)0，解得 x0，所以 f(x)0，只有 ln x0( x1)，解得 x1.综上可知，函数 y f(f(x)1 有 xe e,1e,1，共 3 个零点
